Änderungsrate

Die Ableitung einer Funktion kann man als ihre Änderungsrate interpretieren, wie sich direkt an dem Differenzenquotienten bzw. an dessen Grenzwert, dem Differenzialquotieten ablesen lässt:

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\text d f(x)}{\text d x}$

Der Differenzen- bzw. Differenzialkoeffizient ist definiert als das Verhältnis aus Änderung der Funktionswerte ($\Delta f(x)$ bzw. df(x)) und Änderung der x-Werte ($\Delta x$ bzw. dx). Je größer aber $\Delta f(x)$ bei festem $\Delta x$ ist, desto schneller ändern sich die Funktionswerte.

Wenn die unabhängige Variable für die Zeit t steht, also z. B. beim physikalischen Problem einer gleichmäßigen oder beschleunigten Bewegung, dann spricht man oft von einer momentanen Änderungsrate: $\displaystyle \frac{\text d s(t)}{\text d t} = v(t)$. DIese gibt dann z. B. an, wie stark sich die zurückgelegte Strecke s zu einem Zeitpunkt t gerade ändert – also wie schnell die Bewegung gerade ist bzw. wie groß die momentane Geschwindigkeit $v(t)$ ist. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht dagegen einem Differenzenquotienten, nämlich der Differenz aus dem insgesamt zurückgelegtem Weg $\Delta s$ und der dafür benötigten Zeit $\Delta t$.