Abstand

Der Abstand wird in der Geometrie zunächst als die kürzestmögliche Entfernung bzw. Distanz zwischen zwei Punkten definiert. Man kann ihn mit einem Lineal messen und in einer geeigneten Längeneinheit angeben. Die Analytische Geometrie macht es möglich, Abstände zu berechnen: Und zwar definiert sie den Abstand d(X, Y) zwischen zwei Punkten X(x₁|x₂) und Y(y₁|_y2) als die Länge bzw. der Betrag des Differenzvektors zwischen den beiden Ortsvektoren \(\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) und \(\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\), also

\(\displaystyle d(X, Y) \equiv d(\vec x, \vec y) = \left|\vec x - \vec y \right| = \left| \begin{pmatrix} x_1 - y_1 \\ x_2 - y_2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{ ( x_1 - y_1)^2 + (x_1 - y_2)^2}\)

Bei Punkt bzw. Vektoren im Raum, also mit drei Komponenten, sieht die Definition ganz analog, nur etwas umständlicher aus.

Den Abstand von bzw. zwischen anderen Objekten wie Geraden oder Ebenen kann man folgendermaßen auf den Abstand zwischen Punkten zurückführen: Man sucht sich dazu die beiden Punkte in den beiden Objekten aus, die einander am nächsten liegenund definiert den Abstand dieser beiden Punkte als den Abstand der beiden Objekte:

• Der Abstand d(P, g) eines Punktes P von einer Geraden g oder einer Ebenen E ist der gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{PF}\) vom Punkt P zum Lotfußpunkt F des Lotes von P auf g bzw. E. Da das Lot definitionsgemäß senkrecht auf g steht, spricht man auch vom senkrechten (orthogonalen) Abstand von P zu g. (Eine Beispielrechnung für Geraden findet sich hier). Bei der Ebene ist es noch einfacher, sofern ihre Gleichung in Normalenform gegeben ist, denn der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) ist der Normalenvektor der Ebene.
  

  

     

  

  
   
• Der Abstand d(g, h) zweier paralleler Geraden g und h ist gleich dem (senkrechten) Abstand eines beliebigen Punkts, z. B. des Aufpunkts, der Geraden g von der Geraden h – oder umgekehrt.
  

  

  
   
• Der Abstand d(g, h) zweier windschiefer Geraden g und h im Raum ist gleich dem (senkrechten) Abstand eines Punkts der Gerade g von der Ebene (siehe unten), welche die Gerade h enthält und umgekehrt.
  

  

  
   
• Der Abstand d(g, E) einer Geraden g von einer zu ihr parallelen Ebene E ist gleich dem (senkrechten) Abstand eines beliebigen Punkts P der Geraden, z. B. des Aufpunkts, von der Ebene. Das Lot, d. h. der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) ist auch hier der Normalenvektor der Ebene.
  

  

  
   
• Der Abstand d(E₁, E₂) zweier paralleler Ebenen E₁ und E₂ ist gleich dem (senkrechten) Abstand eines beliebigen Punkts P der einen Ebene von der anderen. Da die Ebenen parallel sind, sind auch ihre Normalenvektoren (anti)parallel und entsprechen dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Ebenen.