Satzgruppe des Pythagoras – Lernwege
Wie erkennt man, ob man den Pythagoras anwenden kann?
Die Satzgruppe des Pythagoras kann in der Geometrie sehr hilfreich sein. Doch sei vorsichtig, denn die drei Sätze können nicht immer angewendet werden.
Grundsätzlich gilt: Es muss ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen!
Das bedeutet, einer der drei Innenwinkel muss genau \(90^°\) groß sein. Für spitzwinklige oder stumpfwinklige Dreiecke gelten die Sätze nicht. Ob du die Sätze anwenden darfst, erkennst du also an der Art des Dreiecks.
Beachte: Gleichschenklige Dreiecke können rechtwinklig sein, müssen es aber nicht. Es gibt auch gleichschenklige Dreiecke ohne rechten Winkel.
Wie erkennt man, welche Formel der Satzgruppe des Pythagoras man anwenden muss?
Die Satzgruppe des Pythagoras besteht aus folgenden drei Sätzen:
- Satz des Pythagoras:
\(a\,^2\,+\,b\,^2\,=\,c\,^2\) - Kathetensatz des Euklid:
\(a\,^2\,=\,p\,\cdot\,c\) bzw. \(b\,^2\,=\,q\,\cdot\,c\) - Höhensatz des Euklid:
\(h\,^2\,=\,p\,\cdot\,q\)
Sowohl der Satz des Pythagoras als auch die Sätze des Euklid können bei einem rechtwinkligen Dreieck angewendet werden. Welcher Satz zu verwenden ist, kommt immer auf die Fragestellung sowie die gegebenen und gesuchten Größen an. Sind zwei Angaben bekannt, kann die dritte Länge sofort ausgerechnet werden.
Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele, welcher Satz zu verwenden ist.
| Gegeben | Gesucht | Satz |
|---|---|---|
| Katheten \(a\) und \(b\) | Hypotenuse \(c\) | Satz des Pythagoras |
| Länge \(p\) und Hypotenuse \(c\) | Kathete \(a\) | Kathetensatz des Euklid |
| Höhe \(h\) und Länge \(q\) | Länge \(p\) | Höhensatz des Euklid |
| Kathete \(b\) und Länge \(q\) | Hypotenuse \(c\) | Kathetensatz des Euklid |
Die Tabelle gibt nur einen kleinen Überblick über mögliche Fälle. Es sind viele weitere denkbar. Die Sätze können auch ineinander eingesetzt werden, falls nicht alle gewünschten Größen bekannt sind.
Wie löse ich Aufgaben mit dem Pythagoras erfolgreich?
Der erste Schritt, um Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras richtig zu lösen, ist zu erkennen, dass ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt. Anschließend gilt es herauszufinden, welche Angaben gesucht und welche bekannt sind.
Daraufhin kann entschieden werden, mit welchem Satz die fehlende Größe bestimmt werden kann. Achte darauf, eine Skizze zu zeichnen und das Dreieck korrekt zu beschriften. Alle Variablen sollten den richtigen Längen und Winkeln zugeordnet sein, sodass die Rechnung im Nachhinein für jeden nachvollziehbar ist.
Die bekannten Längen können dann in die Formel eingesetzt werden. Sie sollten alle dieselbe Einheit haben!
Beim Rechnen muss darauf geachtet werden, dass die korrekte Reihenfolge eingehalten wird. Je nachdem welcher Satz verwendet wird, müssen die Längen zuerst quadriert werden. Erst danach wird das Produkt beziehungsweise die Summe gebildet. Zuletzt wird, falls notwendig, die Wurzel aus dem Ergebnis gezogen. Wird diese Reihenfolge nicht eingehalten, kommt ein falsches Ergebnis heraus!