Exponentielles Wachstum und Periodizität haben eine Gemeinsamkeit. Ihre zugehörigen Funktionen sehen auf den ersten Blick immer sehr kompliziert aus. Dazu gehören Exponentialfunktionen, wie zum Beispiel  \(y=2^{x}\), und trigonometrische Funktionen, wie beispielsweise \(y=\cos(x)\). 

Vielleicht hast du auf den ersten Blick nicht sofort eine Idee, wie du mit diesen Funktionen umgehen sollst. Du musst dir aber keine Sorgen machen! Wenn du dich erst mal ein wenig mit ihnen beschäftigt hast, wirst du merken, dass es gar nicht so schwer ist. Denn wie für jede Art von Funktionen gibt es auch hier Regeln, mit denen du jede Rechnung bewältigen kannst. 

Arbeite dich durch die folgenden Lernwege durch und rechne die Aufgaben zum exponentiellen Wachstum und zur Periodizität. Fühlst du dich sicher im Umgang mit den jeweiligen Funktionen, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen. Hast du diese bewältigt, sollten dir auch kompliziert aussehende Funktionen keine Angst mehr machen. 

Exponentialfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Wie erkennt man exponentielles Wachstum und Periodizität?

Exponentielles Wachstum zu berechnen oder Aufgaben zur Periodizität zu lösen, ist nicht so schwer, wie du denkst. Zuerst musst du jedoch erkennen, um welches Thema es sich in der Aufgabenstellung handelt. Wenn eine Funktion gegeben ist, hilft dir diese meist weiter. 

Exponentielles Wachstum

Wird ein exponentielles Wachstum dargestellt, dann musst du mit Exponentialfunktionen umgehen können. Du erkennst sie daran, dass die Variable, häufig mit \(x\) bezeichnet, im Exponenten steht. Auch die eulersche Zahl \(e\) gibt einen Hinweis auf exponentielles Wachstum.

Periodizität

Sollst du eine Aufgabe lösen, in der eine trigonometrische Funktion vorkommt, dann handelt es sich um eine Aufgabe zur Periodizität. Periodische Funktionen beinhalten meist trigonometrische Funktionen, also Winkelfunktionen, wie beispielsweise den Sinus. 

Wie rechnet man mit exponentiellem Wachstum und Periodizität?

Hast du bei einer Aufgabe erkannt, um was es geht, kannst du damit beginnen, sie zu lösen. Egal um was für eine Form von Funktion es sich handelt, die Grundlagen dafür sind immer dieselben. 

Du solltest generell wissen, wie Gleichungen aufgestellt werden. Denn es spielt keine Rolle, wie die Funktion gelöst wird, bevor du sie nicht aufgeschrieben hast. Anschließend muss die Gleichung häufig entsprechend umgeformt werden. 

Wenn dir das Aufstellen, Umformen und Auflösen von Gleichungen noch schwerfällt, dann sieh dir die entsprechenden Lernwege noch einmal an. 

Exponentielles Wachstum

Eine typische Aufgabe zum exponentiellen Wachstum ist die Vermehrung von Bakterien. Um bestimmen zu können, nach wie vielen Jahren eine Bakterienkultur auf eine gewisse Anzahl gewachsen ist, musst du die Exponentialfunktion aufstellen und anschließend nach der Variable auflösen.

Der Logarithmus ist hier ein wichtiges Stichwort! Mit seiner Hilfe kannst du die Gleichung nach dem Exponenten auflösen.

Periodizität

Periodische Funktionen beschreiben sich wiederholende Zustände. Aufgaben zu diesem Thema zu lösen, heißt oft, die Periode oder die Amplitude bestimmen zu müssen. Um die zugehörigen Gleichungen umzuformen oder aufzulösen, ist es manchmal hilfreich, bestimmte Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen zu kennen.

Dazu gehört beispielsweise \(\text{sin}(x)^2\,+\,\text{cos}(x)^2\,=\,1\).

Wie löst man Textaufgaben zu exponentiellem Wachstum und Periodizität?

Textaufgaben zum exponentiellen Wachstum oder zur Periodizität lassen sich genauso lösen wie viele andere Textaufgaben in deinem Matheunterricht auch. Sie unterschieden sich meist lediglich darin, wie du die Gleichung auflösen kannst.

  1. Schritt: Lies den Aufgabentext aufmerksam durch. 
  2. Schritt: Identifiziere die Art der Funktion.
  3. Schritt: Finde heraus, welche Größe gesucht ist und welche Größen gegeben sind.
  4. Schritt: Stelle die Gleichung auf. 
  5. Schritt: Löse die Gleichung durch Umformung auf.
  6. Schritt: Schreibe einen Antwortsatz.

Wenn du dich an die korrekte Reihenfolge der Arbeitsschritte hältst, dann kannst du auch Aufgaben mit exponentiellen oder trigonometrischen Funktionen garantiert schnell lösen!