Lineare Funktionen | Aufgaben und Übungen

Allgemein erkennst du Funktionen immer an ihrer Funktionsgleichung oder an ihrem Funktionsgraphen.

Bei einer linearen Funktion kommt die Variable x in der Funktionsgleichung immer nur in der ersten Potenz vor. Es sind also Funktionen ersten Grades. Die allgemeine Geradengleichung lautet:

\(f(x) = mx + b\)

Gleichungen von diesem Typ beschreiben immer eine lineare Funktion.

Besonders schnell kannst du lineare Funktionen an ihrem Funktionsgraphen erkennen. Der ist nämlich einfach eine Gerade. Die Steigung der Geraden kannst du der Funktionsgleichung entnehmen, sie lautet m. Der y-Achsenabschnitt der Geraden ist b.

Der Funktionsterm gibt dir an, wie du von der Variablen x auf ihren Funktionswert kommst. Du kannst ihn aufstellen, indem du diese beiden Eigenschaften der linearen Funktion bestimmst:

• die Steigung m
• den y-Achsenabschnitt b

Wie du auf die beiden Größen kommst, hängt davon ab, was in der Aufgabe gegeben ist.

Lineare Zuordnung

Wenn du den Funktionsterm aus einer linearen Zuordnung einer Textaufgabe aufstellen sollst, kannst du den y-Achsenabschnitt und die Steigung direkt aus dem Aufgabentext herauslesen. In dem Lernweg Lineare Funktionsterme aufstellen und darstellen siehst du an einem Beispiel, wie das am besten klappt!

Funktionsterm aus Eigenschaften aufstellen

In anderen Aufgaben und Übungen hast du spezielle Eigenschaften der linearen Funktion gegeben. Dann musst du meistens die passenden Gleichungen aufstellen, um auf den Funktionsterm zu kommen. Es gibt drei Arten von diesen Aufgaben. 

• Es ist ein Punkt \((x_0\,|\, y_0)\) auf dem Funktionsgraphen und die Steigung m gegeben. Um den fehlenden Achsenabschnitt zu erhalten, setzt du die Steigung und die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung ein und löst nach dem Achsenabschnitt auf.

• Es sind zwei Punkte, \((x_1\,|\, y_1)\) und \((x_2\,|\, y_2)\), einer Geraden gegeben. Hier berechnest du die Steigung mit der Formel für das Steigungsdreieck. Dann setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein, um den Achsenabschnitt auszurechnen.

• Es ist die Zeichnung des Funktionsgraphen gegeben. Den Achsenabschnitt b kannst du aus dem Graphen ablesen und wenn du ein Steigungsdreieck einzeichnest, kannst du die Steigung ausrechnen.

Wie du diese drei Aufgabentypen Schritt für Schritt löst, erfährst du in unserem Anleitungsvideo zum Aufstellen von linearen Funktionstermen. Dort findest du auch interaktive Übungen.

Eine lineare Funktion kannst du nicht nur berechnen, sondern auch in einem Koordinatensystem zeichnerisch darstellen. Es gibt verschiedene Arten, einen Funktionsterm zu zeichnen.

• Funktionsgraphen mit Wertetabelle zeichnen
  In einer Wertetabelle kannst du mindestens zwei Punkte ausrechnen. Wenn du diese Punkte in einem Koordinatensystem über eine Gerade verbindest, erhältst du den Funktionsgraphen.
• Funktionsgraphen mit Achsenabschnitt und Punkt zeichnen
  Der Achsenabschnitt ist der Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet. Wenn du den Achsenabschnitt und mit einem anderen Punkt des Graphen verbindest und eine Gerade ziehst, erhältst du den Funktionsgraphen.
• Funktionsgraphen mit Punkt und Steigungsdreieck zeichnen
  Wenn du einen Punkt des Graphen hast ‒ das kann auch der Achsenabschnitt sein ‒ und in diesem Punkt das Steigungsdreieck einzeichnest, kannst du die lange Seite des Dreiecks verlängern, um den Funktionsgraphen zu bekommen.

Funktionsterme aufstellen und Graphen zeichnen ist erst der Anfang! So richtig rund geht es erst bei Aufgaben und Übungen zu linearen Funktionen. In diesen Aufgaben gibt es verschiedene Fragestellungen.

• Steigung aus dem Funktionsgraphen bestimmen
  Die Steigung einer Geraden bestimmt man am besten mit dem Steigungsdreieck.
• Nullstelle der Funktion bestimmen
  Die Nullstelle einer linearen Funktion berechnet man, indem die Funktion gleich null gesetzt und nach der Variablen aufgelöst wird.
• Punkt auf Gerade überprüfen
  Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du die x-Koordinaten des Punktes in den Funktionsterm ein. Der Punkt ist auf der Geraden, wenn der berechnete y-Wert mit der gegebenen y-Koordinate übereinstimmt.
• Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen
  Den Schnittpunkt zweier Geraden kann man berechnen, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt und nach der Variablen auflöst. Für die y-Koordinate des Schnittpunktes setzt man den berechneten x-Wert in eine der Geradengleichungen ein. 

Puh, das sind ganz schön viele Aufgabentypen! Aber keine Sorge, wir stellen dir Lernvideos zu Steigung, Nullstelle und Schnittpunkten zur Verfügung, in denen das alles genau erklärt wird.

Danach kannst du dein Wissen bei unseren interaktiven Aufgaben und Übungen zu den linearen Funktionen testen.