Die Differenzialrechnung ist ein elementares Thema im Matheunterricht in der gymnasialen Oberstufe. Sie nimmt einen Großteil der Analysis in dieser Zeit ein. Das heißt, es werden dir immer wieder Aufgaben begegnen, bei denen du die Grundlagen der Differenzialrechnung brauchst und wissen musst, wie du Ableitungen berechnest.
Das ist Grundlage dafür, dass du dann später Anwendungsaufgaben zur Differenzialrechnung lösen kannst. Ein typisches Beispiel sind Extremwertaufgaben. Häufig tritt dieser Aufgabentyp auch als Textaufgabe auf.
Wie du siehst, ist die Differenzialrechnung ein elementarer Bestandteil der Mathematik, daher findest du im Folgenden eine Zusammenfassung mit wichtigen Aspekten. Ausführliche Erklärungen zu allen Teilbereichen mit Beispielen und dazu passenden Übungsaufgaben mit Lösungen zur Differenzialrechnung findest du dann in unseren Lernwegen. Wenn dir alle Aspekte der Differenzialrechnung vertraut sind, kannst du die Klassenarbeiten machen, um den Ernstfall für die Schule zu proben.
Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x) =(2-x)\cdot e^x\) , \(x\in \mathbb {R}\) . Die Graphen der Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der Abbildung dargestellt. Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate 1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0,1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\) modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die
In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane Zuflussrate 1 aus dem Bach kann an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t) = \frac14 t^3 -12t^2 +144t +250;\quad t \in \mathbb{R}\) , für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{h}\) und \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t = 0\) und endet zum Zeitpunkt \(t = 24\) . Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der
In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten 1 aus den beiden Bächen durch Funktionen \( f_a\) für den Bach 1 und \( g_a \) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a \) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen: \(f_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 3a \cdot t^2 + 9a^2 + 340;\quad t \in \mathbb R\) \(h_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 7a \cdot t^2 + 24a^2 + 740;\quad t \in \mathbb R
Welche Aufgaben zur Differenzialrechnung gibt es?
Zur Differenzialrechnung begegnen dir bestimmte Aufgabentypen immer wieder. Am Anfang tauchen vor allem Aufgaben auf, bei denen du lediglich die Ableitung einer gegebenen Funktion bestimmen musst. Später musst du mit den entstehenden Funktionen weiter rechnen. Häufig musst du Extremwerte von Funktionen bestimmen. Differenzialrechnung benötigst du außerdem immer dann, wenn du eine Steigerung oder das Veränderungsverhalten einer gegebenen Funktion begutachten willst. Solche Aufgaben begegnen dir häufig in Form von Textaufgaben.
Das Musterbeispiel einer Aufgabe zur Differenzialrechnung ist die Kurvendiskussion. Dabei analysierst du eine Funktion durch mehrfaches Ableiten auf charakteristische Stellen, wie z. B. Extrema oder Wendepunkte. Kurvendiskussionen sind in der einen oder anderen Form Teil von so ziemlich jeder Klausur zu diesem Thema und jeder Abiturprüfung.
Neben Aufgaben, die explizit Teil der Differenzialrechnung sind, helfen dir die Rechenmethoden, die du hier lernst, auch in dem verwandten Thema der Integralrechnung. Dort kannst du durch geschicktes Ausprobieren mit Ableitungen häufig Stammfunktionen finden. So kannst du dir durch Kenntnisse in der Differenzialrechnung das Leben in der Integralrechnung erleichtern.
Wie löst man Aufgaben zur Differenzialrechnung?
Um Aufgaben zum Thema Differenzialrechnung durchzuführen, musst du dich mit Ableitungen und Ableitungsfunktionen auskennen. Damit du die Ableitung einer Funktion erhältst, musst du eigentlich den Differenzialquotienten bestimmen. Das ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für unendlich kleine Abstände. Da das aber sehr umständlich ist, verinnerlichst du besser die Ableitungsregeln.
Als Erstes musst du eine Funktion häufig mehrfach ableiten. Dabei entstehen verschiedene Ableitungsfunktionen, mithilfe derer du Informationen zu bestimmten Eigenschaften der ursprünglichen Funktion herausfinden kannst.
Grundsätzlich musst du dich bei allen Aufgabentypen mit Funktionen und Gleichungen auskennen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen, musst du die entstehenden Funktionen immer wieder mit bestimmten Werten gleichsetzen (meistens mit dem Wert \(0\)). Für die Umformungen der entstehenden Gleichung benötigst du Grundlagen aus der Algebra.
Wann ist eine Funktion nicht differenzierbar?
Wenn du Funktionen differenzieren sollst, musst du sie vorher häufig auf Differenzierbarkeit überprüfen. Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist umgekehrt jede unstetige Funktion ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar. Um eine Funktion an einer bestimmten Stelle auf Differenzierbarkeit zu überprüfen, musst du testen, ob die rechts- und linksseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten an dieser Stelle miteinander übereinstimmen.