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In den späteren Klassenstufen werden dir viele Aufgaben zu Ableitungen begegnen. Zunächst wirst du das Ableiten üben müssen. Später werden Funktionen mithilfe von Ableitungen auf ihre Eigenschaften untersucht.

Um einen guten Einstieg in das Thema zu finden, solltest du wissen, wie man mit Funktionen umgeht. Du solltest Funktionen zeichnen, Wertetabellen aufstellen und Äquivalenzumformungen durchführen können.

In den folgenden Lernwegen findest du Informationen, wie du die Ableitungsfunktion bestimmst, welche Ableitungsregeln es gibt und wie du die Ableitungsfunktion grafisch darstellen kannst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dein Wissen mit unseren Klassenarbeiten prüfen.

Ableitung – Klassenarbeiten

  • Abiturprüfung

    Abiturprüfung Analysis A1 2014 NRW GK

    Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x) =(2-x)\cdot e^x\) , \(x\in \mathbb {R}\) . Die Graphen der Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der Abbildung dargestellt. Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Abiturprüfung

    Abiturprüfung Analysis A1 2014 NRW LK

    Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate 1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0,1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\) modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die

  • Abiturprüfung

    Abiturprüfung Analysis A2 2014 NRW GK

    In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane Zuflussrate 1 aus dem Bach kann an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t) = \frac14 t^3 -12t^2 +144t +250;\quad t \in \mathbb{R}\) , für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{h}\) und \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t = 0\) und endet zum Zeitpunkt \(t = 24\) . Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der

  • Abiturprüfung

    Abiturprüfung Analysis A2 2014 NRW LK

    In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten 1 aus den beiden Bächen durch Funktionen \( f_a\) für den Bach 1 und \( g_a \) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a \) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen: \(f_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 3a \cdot t^2 + 9a^2 + 340;\quad t \in \mathbb R\) \(h_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 7a \cdot t^2 + 24a^2 + 740;\quad t \in \mathbb R

Wie bestimmt man Ableitungsfunktionen?

Ableitungsfunktionen kannst du auf verschiedene Arten bestimmen. Du kannst die Ableitungsfunktion grafisch bestimmen. Für das grafische Lösen kannst du die Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen und dir die wichtigsten Punkte ansehen (Extrempunkte, Nullstellen etc.). Bei speziellen Funktionen, z. B. bei der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion, wird das allerdings schwieriger und ungenauer. Um also die Ableitungsfunktion exakt zu bestimmen, ist eine analytische Lösung durch Ableitungsregeln sinnvoller.

Welche Ableitungsregeln gibt es?

Um eine Ableitung zu berechnen, gibt es ein paar Ableitungsregeln. Je nachdem wie die Funktion aufgebaut ist, wirst du andere Regeln benötigen. Hier sind ein paar Beispiele: 

  • Potenzregel
  • Summenregel
  • Produktregel
  • Kettenregel

Diese Regeln sind essenziell für den Erfolg bei der Bildung der Ableitung. Beginne damit, die Potenzregeln zu festigen, und taste dich dann an die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel heran.

Welche Aufgaben gibt es zu Ableitungen?

Ableitungen wirst du für deine Abiturprüfung benötigen. Wie du die Grundrechenarten auch bei komplexen Aufgaben benötigst, so bilden Ableitungen eine grundlegende Rechenart für noch komplexere Aufgaben. Ableitungen können bei Kurvendiskussionen und bei der Bestimmung von Tangentengleichungen angewandt werden. Ferner kann es auch vorkommen, dass du die Ableitungsfunktion grafisch bestimmen sollst. Das ist insbesondere für Skizzen nützlich.

Wie kann man eine Ableitungsfunktion graphisch bestimmen?

Um die Ableitungsfunktion grafisch darstellen zu können, gibt es ein paar wichtige Hilfen, die dich dabei unterstützen, die Ableitungsfunktion sauber und in wenigen Schritten zu zeichnen. Hier findest du zwei Regeln, die dir das grundlegende Gerüst dazu vorgeben: 

  • Die Extremstellen von \(f(x)\) sind die Nullstellen von \(f'(x)\).
  • Die Wendestellen von \(f(x)\) sind die Extremstellen von \(f'(x)\).

Da du nun die wichtigsten Regeln kennst, folgt die Schrittfolge, die dich zum Ziel bringt.

  1. Markiere alle wichtigen Punkte auf der Funktion \(f(x)\) (Nullstellen, Extremstellen). 
  2. Zeichne die Ableitungsfunktion durch die zuvor bestimmten Punkte. 

Welche Funktionen haben besondere Ableitungsregeln?

Wenn es um rationale Funktionen geht, kannst du die genannten Ableitungsregeln ohne Weiteres anwenden. Jedoch gibt es Funktionen, bei denen du einiges bei der Ableitung beachten muss. Hier sind ein paar Beispiele für Funktionen, die besondere Aufmerksamkeit benötigen: 

  • Exponentialfunktion
  • Sinusfunktion
  • Logarithmusfunktion

Die Sinusfunktion scheint auf den ersten Blick nicht ableitbar zu sein. Wenn du jedoch die Sinusfunktion zeichnest und durch die bekannten Schritte die Ableitungsfunktion grafisch darstellst, dann erkennst du, dass die Kosinusfunktion die Ableitung von der Sinusfunktion ist. Das ist nicht die einzige Ableitung von speziellen Funktionen, die dir begegnen kann. Häufig werden diese Funktionsarten in den Abiturprüfungen benötigt.