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Kosinusfunktion

5. Klasse ‐ Abitur

Die Kosinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion, welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Kosinus eines Winkels („\(\cos \varphi\)“) zu einer auf ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Dazu wird das Argument im Bogenmaß angegeben, also als Zahlenwert, wobei der rechte Winkel (±90°) dem Wert \(\displaystyle \pm \frac \pi 2\) und der Vollwinkel dem Wert \(2\pi\) entspricht.

Die Kosinusfunktion ist periodisch, es gilt \(\cos x = \cos(x + k \cdot 2\pi) \ \ (k \in \mathbb Z)\).

Der Definitionsbereich ist, wie gesagt, \(D_f = \mathbb R\), der Wertebereich ist Wf = [–1; 1].

Der Funktionsgraph der Kosinusfunktion ist symmetrisch zur y-Achse, sie ist also eine sog. gerade Funktion. Er ist außerdem auch symmetrisch zu allen senkrechten Geraden durch die Extremstellen (siehe unten) sowie punktsymmetrisch zu allen Nullstellen (jeweils weil die Funktion bis nach „\(\pm \infty\)“ periodisch ist).

Wenn man den Graphen der Kosinusfunktion um \(\displaystyle \frac \pi 4\) nach rechts bzw. um \(\displaystyle \frac{3\pi}{4}\) nach links verschiebt, erhält man den Graphen der Sinusfunktion.


 

Weitere Eigenschaften der Kosinusfunktion

  • Nullstellen\(\displaystyle x_k = \left(k + \frac 1 2 \right) \cdot \pi \ \ ( k \in \mathbb{Z})\)
  • Extrema: lokale Maxima bei geraden Vielfachen von \(\pi\), also \(x_k = 2k \cdot \pi\), lokale Minima bei ungeraden Vielfachen von \(\pi\), d. h. \(x_k = (2k - 1) \cdot \pi\), jeweils mit \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Monotonie: Zwischen den Extrema ist die Funktion jeweils streng monoton steigend bzw. fallend.

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion, ihre Stammfunktion ist die positive Sinusfunktion:

\((\cos x)' = -\sin x\) und  \(\int \cos x\, \text dx = \sin x \ (+\ const.)\)