Bei der „Diskussion“ einer Funktion werden elementare Eigenschaften vor allem des Funktionsgraphen aus der Untersuchung der Terme der Funktion und der Ableitungen ermittelt.
Beispiel f(x)=2x2−4x+2x2=2+−4x+2x2=2−4x+2x2
1. Definitionsbereich D_f
f (x) = \frac{2x^2-4x+2}{x^2} = \frac{u(x)}{v(x)} . f ist an der Nullstelle x = 0 des Nenners v (x) nicht definiert: Also gilt: D_f = \mathbb{R}\backslash\{0\}.
2. Symmetrieeigenschaften des Graphen G_f
Es liegt keine ausgezeichnete Symmetrie vor.
3. Nullstellen von f
Für x \in D_f gilt: f (x) = 0 \Leftrightarrow u (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x^2 - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1.
f hat also bei x = 1 eine doppelte Nullstelle (d. h. ohne Vorzeichenwechsel).
4. Schnittpunkt von G_f mit der y-Achse
Da f für x = 0 nicht definiert ist, existiert kein Schnittpunkt mit der y-Achse.
5. Verhalten von f am Rand von D_f
Es gilt \lim_{x \to \pm \infty}f (x) = \lim_{x \to \pm \infty}\left( 2 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2} \right) = 2.
Die Gerade g : y = 2 ist horizontale Asymptote von G_f .
\lim_{\underset{x>0}{x \to 0}}f(x) =\lim_{\underset{x<0}{x \to 0}}f(x) = +\infty . Die y-Achse ist vertikale Asymptote.
Die Definitionslücke x = 0 ist Unendlichkeitsstelle 2. Ordnung, also ohne Vorzeichenwechsel.
6. Vorzeichenbereiche von f
Vorzeichentabelle für f
f ist nicht negativ,der Graph G_f verläuftalso im I. und II. Quadranten.
7. Berechnung von f' und f'':
f'(x)=\frac{(4x-4)\cdot x^2-(2x^2-4x+2)\cdot 2x}{x^4}=\frac{4x-4}{x^3} ;
f'' (x) = \frac{4x^3-(4x-4)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{-8x+12}{x^4} , D_{f'} = D_{f''} = \mathbb{R}\backslash\{0\}.
8. Extrema von f bzw. Extrempunkte von G_f
1. Nullstellen von f': f' (x) = 0 \Leftrightarrow 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1
2. Entscheidung, ob Extremum vorliegt: f'' (1) = 4 > 0, somit hat f bei x = 1 ein lokales Minimum. Mit f (1) = 0 erhält man den Tiefpunkt T (1|0).
9. Monotonie von f bzw. Steigen und Fallen von G_f
Eine Vorzeichenbetrachtung von f' ergibt:
x < 0 \Longrightarrow f' (x) > 0 \Longrightarrow G_f steigt streng monoton,
0 < x < 1 \Longrightarrow f' (x) < 0 \Longrightarrow G_f fällt streng monoton,
1 < x \Longrightarrow f' (x) > 0 \Longrightarrow G_f steigt streng monoton.
10. Wendestellen von f bzw. Wendepunkte von G_f
1. Nullstelle von f'': f'' (x) = 0 \Leftrightarrow - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1,5
2. Entscheidung, ob Wendepunkt vorliegt: Da f'' bei x = 1,5 das Vorzeichen wechselt, liegt bei x = 1,5 ein Wendepunkt vor.
Mit f (1,5) = \frac{2}{9} \approx 0,22: Wendepunkt W \left( 1,5| \frac{2}{9} \right) .
11. Krümmungsverhalten von G_f
Vorzeichenuntersuchung von f'' (x) = \frac{-8x+12}{x^4} ergibt:
x < 0 \Longrightarrow f'' (x) > 0 \Longrightarrow G_f ist linksgekrümmt,
0 < x < 1,5 \Longrightarrow f'' (x) > 0 \Longrightarrow G_f ist linksgekrümmt,
1,5 < x \Longrightarrow f'' (x) < 0 \Longrightarrow G_f ist rechtsgekrümmt.
12. Wertemenge W_f
Aufgrund des lokalen Minimums, des Verhaltens von f für x \rightarrow \pm \infty und x \rightarrow 0 sowie der Stetigkeit von f gilt: W_f = \mathbb{R}^+_0 = [0; \infty [.
13. Zeichnung des Graphen
