Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl eine Funktion als auch ihre Ableitung(en) vorkommen. Sie stellt also nicht eine Anforderung an eine bestimmte Zahl dar, welche die Lösung einer „normalen“ Gleichung ist, sondern an eine Funktion, für die eine bestimmte Beziehung zwischen ihr und ihrer Ableitung gelten soll. Deshalb sind die Lösungen von Differenzialgleichung immer Funktionen.
Der allgemeine Fall einer Differenzialgleichung ist normalerweise kein Schulstoff (und wirklich kompliziert!). Es gibt aber, vor allem in der Physik, einfache Beispiele, an denen man zumindest sehen kann, worum es eigentlich geht:
- Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung beim freien Fall:
Beim freien Fall ist die Beschleunigung konstant gleich der Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2, deshalb nimmt die Momentangeschwindigkeit nach unten, \(v(t)\), linear mit der Zeit t zu:
\(v(t) = g \cdot t \)
Weiterhin ist die Momentangeschwindigkeit die zeitliche Ableitung des zurückgelegten Wegs s(t), für den man die Differenzialgleichung
\(\dfrac {\text d s(t)}{\text d t} = v(t) = g \cdot t\)
Dies kann man formal umstellen und dann integrieren:
\(\dfrac {\text d s}{\text d t} = g \cdot t \ \ \Rightarrow \ \ \text d s = g \cdot t\, {\text d t}\)
\(\displaystyle s(t) = \int \text d s = g\, \int t\,{\text d t} = \frac g 2\cdot t^2 +s_0\)
Eine Weg-Funktion, deren zeitliche Ableitung proportional zur verstrichenen Zeit ist, muss also (bis auf eine etwaige Integrationskonstante, die für die Startposition steht) proportional zum Quadrat der Zeit sein.
- Radioaktiver Zerfall:
Beim radioaktiven Zerfall ist der Zahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome, also die zeitliche Abnahme der Zahl der „heilen“ Atome, proportional zur momentanen Anzahl an heilen Atomen:
\(\dfrac {\text d N(t)}{\text d t} = -c \cdot N(t)\)
Es gibt nur eine Funktion, die gleich bzw. proportional zu ihrer eigenen Ableitung ist, nämlich die e-Funktion (Exponentialfunktion zur Basis e), also hängt die Zahl der noch vorhandenen heilen Atomen wie
\(N(t) = N_0 \cdot \text e^{-c \, \cdot \,t}\)
von der Zeit t ab.