Eine Ebenengleichung in Dreipunkteform ist ein Spezialfall der Parameterform mit drei Aufpunkten, von denen zwei benutzt werden, um die Spannvektoren zu ermitteln. Diese Form bietet sich an, wenn man bereits drei Punkte A, B und C kennt, welche sicher in der Ebene E, aber nicht alle auf derselben Geraden liegen. Die Ortsvektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind dann also linear unabhängig.
Es sei jetzt X sei ein beliebiger Punkt von E.
Dann erhält man die Ebenengleichung von E in Parameterform, indem man z. B. \(\overrightarrow{a}\) als Aufpunkt wählt und die Differenzvektoren \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\) als Spannvektoren:
\(E: \vec x = \vec a + \lambda\cdot (\vec b - \vec a) + \mu \cdot (\vec c - \vec a) \ \ (\lambda, \mu \in \mathbb R)\)
Achtung: Es gibt weitere mögliche Ebenengleichungen, etwa mit \(\overrightarrow{b}\) oder \(\overrightarrow{c}\) als Aufpunkt oder mit \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) als Spannvektor usw.
Beispiel:
- Die Ebene E ist durch die Punkte A(1|3|2), B(–2|2|–1) und C(3|1|5) gegeben.
\(E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2&-&1 \\ 2&-&3 \\ -1&-&2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-3 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \ \ ( \lambda , \mu \in \mathbb{R})\)