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Dezimalzahlen

5. Klasse ‐ Abitur

Dezimalzahlen sind grundsätzlich alle Zahlen, die im Stellensystem mit der Basis \(10\) (Dezimalsystem) aufgeschrieben werden. Das ist für die meisten in der Schule und im Alltag verwendeten Zahlen der Fall. Das heißt, im weiteren Sinne ist die Zahl \(-1{,}5\) ebenso eine Dezimalzahl wie \(2\) oder \(3{,}141.592.653.589.793\dots\)

In vielen Schulbüchern werden Dezimalzahlen aber in einem engeren Sinne verwendet. Dort werden häufig nur Kommazahlen gemeint. Genau genommen werden Dezimalzahlen gemeint, die in Zifferndarstellung mindestens eine Stelle hinter dem Komma haben, die nicht \(0\) ist. Von diesen gibt es drei Arten:

  • Abbrechende Dezimalzahlen haben nur endlich viele Nachkommastellen, die nicht null sind, bzw. ab irgendeiner nur noch Nullen als hinter dem Komma. Sie entsprechen den Dezimalbrüchen, also den Brüchen mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Alle Bruchzahlen, deren Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) enthalten, lassen sich zu einem solchen Dezimalbruch mit abbrechender Dezimaldarstellung erweitern.
    Beispiel:
    \(\displaystyle \frac {7}{20} = \frac {7}{2^2\cdot 5} = \frac {35}{100} = 0{,}35\)

  • Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich ab einer bestimmten Stelle hinter dem Komma eine Ziffer oder Ziffernfolge immer weiter bis ins Unendliche. Diese wird dann mit einem Überstrich notiert:
    \(\displaystyle \frac {7}{6} = \frac {7}{2\cdot 3} = 1{,}1\bar6\)
    Abbrechende und periodische Dezimalzahlen sind rationale Zahlen.

  • Irrationale Zahlen entsprechen Dezimalzahlen, die weder abbrechen noch jemals eine Periode zeigen.Solche nicht abbrechenden und nicht periodischen Dezimalzahlen lassen sich immer nur angenähert aufschreiben, exakt ist nur die Angabe eines Symbols wie „\(e\)“, „\(\pi\)“ oder „\(\sqrt 2\)“. Mathematisch genau müsste man solch eine Dezimalzahl als Grenzwert einer Folge von abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen definieren.

Einige Mathematikbücher vermeiden den Ausdruck Dezimalzahlen und sprechen stattdessen von Dezimalbrüchen, allerdings fallen darunter nur diejenigen Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind.


Schlagworte

  • #rationale zahlen
  • #reelle Zahlen
  • #Brüche