Eine Funktion ist an einer Stelle x0 differenzierbar, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existieren und übereinstimmen:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\)
Beispiele:
-
f(x) = x2 ist an jeder Stelle x0 differenzierbar, weil
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0 = f'(x_0)\) -
f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar, weil
\(\displaystyle \lim_{x \to 0+0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} = \lim_{x \to 0+0}\frac{x-x_0}{x-x_0} = 1\), aber \(\displaystyle \lim_{x \to 0-0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} = \lim_{x \to 0+0}\frac{-(x-x_0)}{x-x_0} = -1\)
Wenn eine Funktion an jeder Stelle in einem Intervall differenzierbar ist, nennt man sie „differenzierbar in diesem Intervall“. Ist sie im gesamten Definitionsbereich Df differenzierbar, nennt man sie „differenzierbar in ganz Df“ oder schlicht eine differenzierbare Funktion.
Achtung: Jede an einer Stelle, in einem Intervall oder generell differenzierbare Funktion ist dort auch stetig – aber nicht jede stetig Funktion ist auch differenzierbar!
Ein Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion: die ist, wie oben gezeigt, im Ursprung nicht differenzierbar, aber durchaus stetig.