Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie – anschaulich gesprochen – in dieselbe Richtung zeigen (kollinear sind), drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in derselben Ebene liegen (komplanar sind) oder sogar alle drei in dieselbe Richtung zeigen.
Formaler definiert man die lineare Abhängigkeit so, dass eine Menge von n Vektoren dann linear abhängig ist, wenn sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Bei linear unabhängigen Vektoren ist das nicht möglich. (Beispielsweise kann man einen Vektor, der „nach oben“ zeigt, nicht aus zwei Vektoren zusammenkombinieren, die „nach links“ und „nach hinten“ zeigen.)
\(\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\) und \(\vec c =\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}\) sind genau dann linear abhängig, wenn es eine Linearkombination \(\lambda \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}\)gibt, die gleich dem Nullvektor ist, ohne dass \(\lambda = \mu= \sigma = 0\) ist.
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn \(\lambda \cdot \vec a + \mu \cdot \vec b + \sigma \cdot \vec c = \vec 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda = \mu = \sigma = 0\).
Um zu prüfen, ob Vektoren linear abhängig oder unabhängig ist, braucht man aber nicht die (unendlich vielen) verschiedenen Linearkombinationen durchzuprobieren, sondern kann sich Determinanten zu Hilfe nehmen. Und zwar ist die Bedingung für lineare Unabhängigkeit genau dann erfüllt, wenn die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\) nicht verschwindet:
\(\vec a,\ \vec b,\ \vec c \text{ sind linear unabhängig} \ \ \Leftrightarrow \ \ \det(\vec a;\vec b;\vec c) = \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \neq 0\)
Beispiel:
\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} ,\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} , \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} ,\ \ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0\)
\(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig (komplanar).
Die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit spielt beim Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) eine wichtige Rolle: Ein Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Spaltenvektoren (bzw. die Zeilenvektoren) der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind, also wenn die Determinante der Matrix ungleich 0 ist.