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Lexikon

Lineare Abbildungen

5. Klasse – Abitur

Eine lineare Abbildung f ist, ganz allgemein gesprochen, eine Abbildung zwischen Zahlen oder anderen Objekten, die man addieren und mit Zahlen multiplizieren kann (siehe unten) und bei der „f(Objekt1 + Objekt2) = f(Objekt1) + f(Objekt2)“ gilt.

Wenn man einfache Zahlen betrachtet, ist eine lineare Abbildung eine proportionale Zuordnung. Lineare Funktionen sind damit eng verwandt, aber streng genommen nicht ganz dasselbe.

In der Analytischen Geometrie bilden lineare Abbildungen Figuren oder Körper längentreu aufeinander ab, alle Abstände bleiben also gleich groß. Für Vektoren bedeutet dass, dass sich ihr Betrag (den man ja auch Länge nennt) bei einer linearen Abbildung nicht ändert. Im Einzelnen sind dies die Kongruenzabbildungen Drehung, Verschiebung und Spiegelung. Die linearen Abbildungen zählen zu den affinen Abbildungen, zu denen aber auch nicht längentreue Abbildungen wie zentrische Streckungen oder Scherungen zählen.

Eine für das Rechnen sehr wichtige Eigenschaft von linearen Abbildungen zwischen Vektoren ist, dass man sie mithilfe von Abbildungsmatrizen darstellen kann.