Der Logarithmus von x zur Basis a ist diejenige reelle Zahl r, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. x wird dabei auch der Numerus genannt.
Man schreibt dies
\(\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x \ \ (a \in \mathbb R^+\! \setminus \{1\}, \ x \in \mathbb R^+)\)
und liest „Logarithmus von x zur Basis a“.
Aus der Definition ergeben sich drei Sonderfälle:
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logaa = 1, da a1 = a,
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loga 1 = 0, da a0 = 1,
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loga ac = c, da ac = ac.
Beispiele:
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log2 8 = 3, da 23 = 8,
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\(\displaystyle \log_4 \frac{1}{16} = - 2,\) da \(\displaystyle 4^{ - 2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)
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\(\displaystyle \log_3 \sqrt[4]{3^3} = \frac{3}{4} ,\) da \(\displaystyle 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3}\)
Für einige besondere Basen benutzt man eigene Namen und Symbole:
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Basis |
Name |
Symbol |
|---|---|---|
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10 |
dekadischer Logarithmus |
log10 x = lg x |
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e (Euler’sche Zahl) |
natürlicher Logarithmus |
loge x = ln x |
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2 |
binärer Logarithmus |
log2 x = lb x |
Achtung: Manchmal schreibt man einfach „log x“, ohne eine Basis anzugeben. Dann ist häufig, aber bei weitem nicht immer der dekadische bzw. 10-er Logarithmus gemeint!
Zwischen zwei verschiedenen Basen rechnet man den Logarithmus folgendermaßen um:
\(\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\log_b a} \cdot \log_b x\)
insbesondere gilt für die Umrechnung auf den natürlichen Logarithmus
\(\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x\)
Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die sog. Logarithmensätze.
In der Analysis untersuscht man die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen.