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Lexikon

Bernoulli-Kette

5. Klasse – Abitur

Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsversuch, der aus n unanbhängigen Wiederholungen des gleichen Bernoulli-Experiments besteht. Dieses hat nur zwei verschiedene Ausgänge, der eine hat die Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit p und der andere die Wahrscheinlichkeit 1 – p.

Beispiele für Bernoulli-Experimente:

Wenn man die Ergebnismenge eines einzelnen Bernoulli-Experiments abstrakt mit \(\Omega = \{0; 1\}\) angibt, besteht die Ergebnismenge der Bernoulli-Kette aus allen n-Tupeln, die nur die Zahlen 0 und 1 enthalten. (Man kann natürlich die beiden Bernoulli-Ergebnisse auch anders bezeichnen, aber „0“ und „1“ sind für viele Zwecke besonders geeignet.) Beispielsweise besteht die Ergebnismenge einer Bernoulli-Kette mit zwei Versuchsausführungen aus den geordneten Paaren (0; 0), (0; 1), (1; 0) und (1; 1). Allgemein gibt es \(| \Omega | = 2^n\) verschiedene Ergebnisse bei einer Bernoulli-Kette, dies ist die Zahl der n-Variationen mit Wiederholungen für eine Menge mit zwei Elementen.

Zur Untersuchung von Bernoulli-Ketten eignen sich Urnenmodelle  besonders gut. Man muss dazu zwei Sorten von Kugeln so „in die Urne legen“, dass ihre Anzahlen sich wie p : (1 – p) verhalten. Ist also das Erfolgsergebnis „Sechs gewürfelt“, müssen in der Urne 1 grüne und 5 rote Kugeln sein (oder 2 und 10 usw.).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Bernoulli-Kette nach n Versuchen genau k-mal „Erfolg“ herauskommt, kann man mit der Binomialverteilung ausrechnen. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolgsergebnisse bekommt man mit der kumulierten Binomialverteilung.