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Lexikon

Binomialverteilung

5. Klasse ‐ Abitur

Die Binomialverteilung ist die wichtigste (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, in einer Bernoulli-Kette eine bestimmte Anzahl von „Erfolgen“ zu erzielen. Wenn die beiden möglichen Ausgänge des Einzelexperiments die Wahrscheinlichkeit p („Erfolg“) und 1 – p („verloren“) haben, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei n Wiederholungen genau k-mal Erfolg zu haben,

\(P(X=k) = B_{n; p}(k)= ​ \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)

dabei sind \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \le p \le 1 \), \(k \in \{0; 1; \ldots n\}\) und X ist die Zufallsvariable, die beschreibt, wie oft bei n Versuchen „Erfolg“ herauskommt. Der Ausdruck \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) heißt Binomialkoeffizient. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens bzw. mindestens k-mal „Erfolg“ zu haben, berechnet man mit der kumulierten Binomialverteilung.

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 12-mal geworfen. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau 8-mal „Zahl“ zu bekommen, \(B_{12; \ 0,5}(8)= ​ \begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix} \cdot 0,5^8 \cdot (1-0,5)^{12-8} \approx 12,1\, \%\).

Der Erwartungswert \(E(X) = \mu\) einer binomialverteilten Zufallsvariablen X beträgt \(n \cdot p\), für die Varianz gilt \(\text{Var}(X) = \sigma^2=n \cdot p \cdot (1-p)\).

Wenn der Einzelversuch der Bernoulli-Kette sehr oft durchgeführt wird und p nicht zu klein ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Als Faustregel kann man sagen, dass diese Näherung erlaubt ist, wenn \(\sigma^2=n \cdot p \cdot (1-p) \ge 9\) und/oder \(\mu =n \cdot p \ge 4\) ist.

Beispiele für binomialverteilte Zufallsgrößen mit unterschiedlichen Werten für die Parameter p und n: