Die Koeffizienten, die sich beim Ausmultiplizieren eines potenzierten Binoms („Binom höherer Ordnung“) bzw. in den verallgemeinerten binomischen Formeln ergeben. Betrachtet man etwa den Ausdruck (a + b)n, so ergibt sich für n = 1, …, 4:
\(\begin{alignat*}{1}(a+b)^0&=&1\\ (a+b)^1&=&a+b\\ (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a+b)^4&=&a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\&\ldots&\end{alignat*}\)
Die vor den Potenzprodukten von a und b stehenden Zahlen, also die Koeffizienten, sind die Binomialkoeffizienten. Für den k-ten Koeffizienten in der n-ten Gleichung schreibt man das Symbol \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\), dabei wird k von 0 bis n gezählt. Man kann also die allgemeine Formel
\((a+b)^n=a^n+\begin{pmatrix}n-1\\1\end{pmatrix}a^{n-1}b +\begin{pmatrix}n-2\\2\end{pmatrix}a^{n-2}b^2 + \ldots + \begin{pmatrix}2\\n-2\end{pmatrix}a^{2}b^{n-2} + \begin{pmatrix}1\\n-1\end{pmatrix}ab^{n-1}+b^n\)
angeben. Für n = 4 heißt das dann
\((a+b)^n=a^4+\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}a^3b +\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}a^2b^2 + \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}a^2b^2 + \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}ab^{3}+b^4\)
Eine übersichtliche Art, die Binomialkoeffizienten darzustellen, ist das Pascalsche Dreieck.
Mithilfe des Fakultät-Operators kann man die Binomialkoeffizienten auch direkt ausrechnen: \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \displaystyle \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)
Die Binomialkoeffizienten spielen nicht nur in der Algebra, sondern auch in der Stochastik eine wichtige Rolle (Binomialverteilung).