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Lexikon

Besondere Winkel in der Trigonometrie

9. ‐ 8. Klasse

Die Winkelfunktionen Sinus (sin x), Kosinus (cos x) und Tangens (tan x) haben im Allgemeinen irrationale Funktionswerte, die man nur mit dem Taschenrechner oder ähnlichen Hilfsmitteln ausrechnen kann. Bei bestimmten Winkeln erhält man aber leicht zu merkende, zum Teil sogar ganz einfache rationale Werte. Wenn man diese parat hat, kann man oft leichter den Überblick bei trigonometrischen Berechnungen (und Klausur- bzw. Abituraufgaben!) behalten.

Gradmaß 30° 45° 60° 90°
Bogenmaß 0 \(\displaystyle \frac \pi 6\) \(\displaystyle \frac \pi 4\) \(\displaystyle \frac \pi 3\) \(\displaystyle \frac \pi 2\)
sin \(\alpha\) bzw. sin x \(\displaystyle 0= \frac {\sqrt 0}{2}\) \(\displaystyle \frac {1}{2} = \frac {\sqrt 1}{2}\) \(\displaystyle \frac {1}{\sqrt 2} = \frac {\sqrt 2}{2}\) \(\displaystyle \frac {\sqrt 3}{2}\) \(\displaystyle 1= \frac {\sqrt 4}{2}\)
cos \(\alpha\) bzw. cos x \(\displaystyle 1= \frac {\sqrt 4}{2}\) \(\displaystyle \frac {\sqrt 3}{2}\) \(\displaystyle \frac {1}{\sqrt 2} = \frac {\sqrt 2}{2}\) \(\displaystyle \frac {1}{2} = \frac {\sqrt 1}{2}\) \(\displaystyle 0= \frac {\sqrt 0}{2}\)
tan \(\alpha\) bzw. tan x \(\displaystyle 0 \ \left( = \frac {1}{\pm\infty}\right)\) \(\displaystyle \frac {1}{\sqrt 3}\) \(\displaystyle1 = \frac {1}{1}\) \(\displaystyle \sqrt 3 \) \(\displaystyle \pm\infty \ \left( = \frac {1}{0}\right)\)

 

Die Werte für 30° und 60° kann man mithilfe des Satzes von Pythagoras an einem gleichseitigen Dreieck nachrechnen:

 

 \(\displaystyle h = \sqrt{a^2 - {\left(\frac{a}{2}\right)}^2} = \frac{a}{2} \sqrt{3}\)

\(\displaystyle \sin 60^{\circ} = \frac{h}{a} = \frac{\frac{a}{2} \sqrt{3}}{a} = \frac{1}{2} \sqrt{3} = \cos 30^{\circ}\)       \(\displaystyle \cos 60^{\circ} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}\)       \(\displaystyle \tan 60^{\circ} = \frac{\frac{a}{2} \sqrt{3}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}\)  

 

Für den Winkel 45° wählt man ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck:

 

\(c = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}\)

\(\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{a}{c} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \cos 45^{\circ}\)        \(\displaystyle \tan 45^{\circ} = \frac{a}{a} = 1 = \cot 45^{\circ}\)