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Lexikon

Binomische Formeln

5. Klasse ‐ Abitur

Die drei binomischen Formeln sind Merksätze für die Quadrate von Binomen, also Termen mit zwei Summanden von der Form a + b oder ab:

  1. binomische Formel:    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  2. binomische Formel:    (ab)2 = a2 – 2ab + b2
  3. binomische Formel:    (a + b)(ab) = a2b2

Man kann die drei Formeln relativ leicht durch Ausmultiplizieren nachrechnen, z. B.

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Beispiele:

  • \((3x-y)^2=(3x)^2-2\cdot 3x\cdot y+y^2=9x^2-6xy+y^2\)
  • \((-2a+4b)^2=(-2a)^2+2\cdot(-2a)\cdot 4b+(4b)^2=4a^2-16ab+16b^2\)
  • \(36m^2-16n^2=(6m)^2-(4n)^2=(6m+4n)\cdot(6m-4n)\)

Ebenso wie die Mitternachtsformel sollte man die binomischen Formeln zu jeder Tages- und Nachtzeit parat haben und in beiden Richtungen anwenden können!

 

Wenn man die binomische Formeln „von rechts nach links“ anwendet, kann man Summenterme in Produkte umwandeln.

Beispiel:
\(x^2-10xy+25y^2\)

1. Der Term enthält zwei Quadrate\(x^2 = a^2\) und \(25y^2 = b^2\), es sind also \(a=x\) und \(b=5y\).
2. Der Term enthält auch das negative doppelte Produkt \(- 2ab = - 2 \cdot x \cdot 5y = - 10xy\). Also kann man die 2. binomische Formel anwenden.

\(x^2-10xy+25y^2=(x-5y)^2\)