Eine Gleichung heißt Bruchgleichung, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält. Beim Lösen einer Bruchgleichung muss man einerseits darauf achten, dass kein Nenner 0 wird, und andererseits überprüfen, dass die am Ende gefundene Lösung Teil der ursprünglichen Definitionsmenge ist.
Vorgehen:
- Definitionsmenge klären
- beide Seiten mit Hauptnenner bzw. Produkt der Nenner multiplizieren
- Gleichung ohne Bruchterme mit den üblichen Verfahren lösen
Beispiel:
\(\displaystyle \frac {3x - 5}{x+1} = \frac {2x + 6}{x+3}\)
1. Defintionsmenge: \(D = \mathbb R \setminus\{-1; -3\}\)
2. Hauptnenner: (x + 1)(x + 3)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac {(3x - 5)(x + 1)(x + 3)}{x+1} = \frac {(2x + 6)(x + 1)(x + 3)}{x+3}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow (3x - 5)(x + 3) = (2x + 6)(x + 1) \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2-4x -21 = 0\)
3. Die quadratische Gleichung kann man z. B. mit der pq-Formel lösen: \(\displaystyle x_{1;\,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 21} = 2 \pm 5\). Die Lösung x = –3 ist nicht in D enthalten, also ist \(L=\{7 \}\).