Gleichungen, bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen.
Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können!
Beispiele:
- \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\)
- \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\)
- \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\)
Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung quadriert. Dadurch wird die Wurzel beseitigt. In komplizierteren Fällen muss dieses Verfahren wiederholt werden, bis die Gleichung wurzelfrei ist.
Achtung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Es ist deshalb immer eine Probe mit den „berechneten Lösungen“ erforderlich!
Beispiel:
\(\begin{array} && \sqrt{x^2-6}&=&\sqrt{2x+2} & | \text{quadrieren} \\ & x^2-6&=&2x+2 &| - 2x - 2\\ \Leftrightarrow &x^2 - 2x - 8 &=& 0&| \text{faktorisieren} \\ \Leftrightarrow & (x - 4) (x + 2)& =& 0\\ \Leftrightarrow &x = 4 &\lor & x = - 2\\ \end{array}\)
Probe für x = 4:
Linke Seite: \(\sqrt{4^2-6}=\sqrt{10}\)
Rechte Seite: \(\sqrt{2\cdot 4+2}= \sqrt{10}\)
\(x \in D\) und beide Seiten sind gleich, also ist 4 eine Lösung.
Probe für x = –2:
Linke Seite: \(\sqrt{(-2)^2-6}=\sqrt{-2}\) ist nicht definiert! –2 ist keine Lösung (und ja auch gar nicht in D enthalten).
\(L=\{4\}\)