Umwandeln zwischen Darstellungsformen von Ebenen

Umwandeln aus der Parameterform in die Normalen- und Koordinatenform

(Die Umwandlung zwischen Darstellungsformen von Geraden funktioniert im genauso wie bei Ebenen, nur mit einer Koordinate bzw. Vektorkomponente weniger.)

Wenn eine Ebene E in Parameterform (Stützvektor \(\vec a\), Spannvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\)) gegeben ist, wandelt man die Darstellung folgendermaßen in eine Normalform um:

\(E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v} \ (\lambda , \mu \in \mathbb{R})\)

Ansatz: \(E: \overrightarrow{n} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a} ) = 0\)

Man berechnet den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) über das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) \(\overrightarrow{n} =\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\), da dieser definitionsgemäß auf beiden Spannvektoren senkrecht stehen muss.

Einsetzen von \(\overrightarrow{n} \) in den Ansatz ergibt: \(E: \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \\ x_3 - a_3 \end{pmatrix} = 0 \ \Leftrightarrow \ n_1 \cdot ( x_1 - a_1) + n_2 \cdot ( x_2 - a_2) + n_3 \cdot ( x_3 - a_3) = 0\)

Die Koordinatenform bekommt man daraus durch Einsetzen und Sortieren nach den Komponenten von \(\vec x\).

 

Eine andere Berechnungsmöglichkeit nutzt aus, dass die Vektoren \((\overrightarrow{a} - \overrightarrow{x})\), \( \overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) linear abhängig sind. Daraus folgt

\(\det ( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{x} , \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} ) = \begin{vmatrix} &a_1-x_1& &u_1& &v_1& \\ &a_2-x_2& &u_2& &v_2& \\ &a_3-x_3& &u_3& &v_3& \end{vmatrix} = 0\)

 

Die Achsenabschnittsform bekommt man aus der Normalenform, indem man das konstante Glied auf die rechte Seite bringt und dann die ganze Gleichung dadurch teilt. Man erhält dann  \(\displaystyle E: \frac{x_1}{s} + \frac{x_2}{t} + \frac{x_3}{u} = 1\). s, t und u sind die jeweiligen Achsenabschnitte.

 

2. Umwandeln aus Koordinatenform in die Parameterform

Man setzt in der Ebenengleichung in Koordinatenform für zwei Komponenten von \(\vec x\) (z. B. x₁ und x₂) die „Laufparameter“ der Parameterform \(\lambda\) und \(\mu\). Dadurch wird die Ebenengleichung in Normalenform zu einer Gleichung für die dritte Komponente (x₃). Dann schreibt man \(\vec x\) in Vektorschreibweise, setzt \(\lambda\) und \(\mu\) und x₃ ein und trennt schließlich in drei Summanden (Stützvektor und Spannvektoren).

Beispiel:

\( E: 6 x_1 - 4 x_2 + 2 x_3 - 12 = 0\)

\(6\lambda - 4\mu + 2 x_3 - 12 = 0 \Leftrightarrow x_3 = 6 - 3\lambda + 2\mu\)

\(\Rightarrow E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \\ 6-3\lambda +2\mu \end{pmatrix}\ \Leftrightarrow \ E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \ ( \lambda , \mu \in \mathbb{R})\)