Nullstellen
5. Klasse
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Abitur
Unter einer Nullstelle versteht man bei einer Funktion f einen x -Wert \(x_0 \in D_f\) , dessen Funktionswert f (x 0 ) = 0 ist. Der Punkt (0|x 0 ) ist damit ein Schnitt- oder Berührpunkt des Funktionsgraphen f mit der x -Achse.
Man findet die Nullstellen einer Funktion durch Lösen der Gleichung f ( x 0 ) = 0 . Dabei kann es, etwa bei rationalen Potenzfunktionen y = x 2 der Ursprung einer sog. doppelte Nullstelle . Allgemein gilt:
Wenn ein x -Wert eine doppelte, vierfache, sechsfache usw. Nullstelle ist, hat der Funktionsgraph dort einen Berührpunkt mit der x -Achse, bei einer einfachen, dreifachen, fünffachen usw. Nullstelle schneidet sie die Achse.
Beispiel: \(f:x \mapsto x+1 \ \ (x \in \mathbb R)\)
\(f(x)=0 \Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)
f besitzt also die (einfache) Nullstelle: x = –1. Der Graph Gf schneidet die x -Achse in (–1|0).
In der Differenzialrechnung Ableitungen Extremstellen Wendestellen
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Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x) =(2-x)\cdot e^x\), \(x\in \mathbb {R}\). Die Graphen der Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der Abbildung dargestellt. Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0,1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\) modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die
In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane Zuflussrate1 aus dem Bach kann an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t) = \frac14 t^3 -12t^2 +144t +250;\quad t \in \mathbb{R}\), für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{h}\) und \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t = 0\) und endet zum Zeitpunkt \(t = 24\). Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung
In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten1 aus den beiden Bächen durch Funktionen \( f_a\) für den Bach 1 und \( g_a \) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a \) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen: \(f_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 3a \cdot t^2 + 9a^2 + 340;\quad t \in \mathbb R\) \(h_a(t) = \frac 1 4 t^3 - 7a \cdot t^2 + 24a^2 + 740;\quad t \in \mathbb R\)
