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Lexikon

Nullstellen

5. Klasse ‐ Abitur

Unter einer Nullstelle versteht man bei einer Funktion f einen x-Wert \(x_0 \in D_f\), dessen Funktionswert f(x0) = 0 ist. Der Punkt (0|x0) ist damit ein Schnitt- oder Berührpunkt des Funktionsgraphen von f mit der x-Achse.

Man findet die Nullstellen einer Funktion durch Lösen der Gleichung f(x0) = 0. Dabei kann es, etwa bei rationalen oder Potenzfunktionen, dazu kommen, dass eine bestimmte Stelle mehrfach als Lösung ermittelt wird. Beispielsweise ist bei der Normalparabel y = x2 der Ursprung einer sog. doppelte Nullstelle. Allgemein gilt:

Wenn ein x-Wert eine doppelte, vierfache, sechsfache usw. Nullstelle ist, hat der Funktionsgraph dort einen Berührpunkt mit der x-Achse, bei einer einfachen, dreifachen, fünffachen usw. Nullstelle schneidet sie die Achse.

Beispiel: \(f:x \mapsto x+1 \ \ (x \in \mathbb R)\)

\(f(x)=0 \Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

f besitzt also die (einfache) Nullstelle: x = –1. Der Graph Gf schneidet die x-Achse in (–1|0). 

 

In der Differenzialrechnung betrachtet man auch die Nullstellen der Ableitungen einer Funktion: Nullstellen der 1. Ableitung können Extremstellen sein, Nullstellen der 2. Ableitung Wendestellen.

 


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