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Normalverteilung

5. Klasse ‐ Abitur

Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Im Fall der Standardnormalverteilung (siehe unten) wird Ihre Dichte durch die sog. Gauß-Funktion

\(\displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \text{e}^{-\frac 1 2 x^2};\ x \in \mathbb R\)

beschrieben, den glockenförmigen Funktionsgraph nennt man Gauß-Kurve (nach dem berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777–1855). Die Verteilungsfunktion (kumulierte Verteilung, Summenverteilung) ist das uneigentliche Integral

\(\displaystyle \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^x \text{e}^{-\frac 1 2 t^2}\text{d}t;\ x \in \mathbb R\)

Die Funktion \(\Phi(x)\) heißt auch Gauß’sche Integralfunktion.

Die Werte der Funktionen \(\varphi\) und \(\Phi\) kann man als Funktionen in einer Tabellenkalkulation oder einem Computer-Algebra-System abrufen, wichtige Funktionswerte werden auch (insbesondere in Abiturklausuren!) in Tabellen angeboten.Es gilt für alle \(x \in \mathbb{R}: \varphi (-x) = \varphi (x);\ \ \Phi (-x) = 1 - \Phi (x)\).

Eine stetige Zufallsvariable X mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\) heißt normalverteilt nach \(N_{\mu,\ \sigma^2}\), wenn

\(\displaystyle P(X \le x) = N_{\mu, \ \sigma^2}(x) = \Phi \left( \frac{x- \mu}{\sigma^2} \right); \ x \in \mathbb{R}\)

Es sind dann also \(\displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{\sigma2\pi}}\cdot \text{e}^{-\frac 1 2 \left( \frac {x-\mu}{\sigma} \right)^2}\) und \(\displaystyle \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{\sigma2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^x \text{e}^{-\frac 1 2 \left( \frac {t-\mu}{\sigma} \right)^2}\text{d}t\).

Für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist also \(\mu = 0\) und \(\sigma^2 = 1\) und es gilt \(\displaystyle P(X \le x) = N_{0, \ 1}(x) = \Phi \left( x \right); \ x \in \mathbb{R}\).

Die große Bedeutung der Normalverteilung beruht darauf, dass bei häufiger Wiederholung desselben Zufallsexperiments die Verteilung immer besser durch die Normalverteilung beschrieben werden kann (Zentraler Grenzwertsatz). Insbesondere lässt sich die Binomialverteilung für große n sehr gut durch eine Normalverteilung mit  \(\mu = np\) und \(\sigma^2 = np(1-p)\) annähern (Satz von Moivre-Laplace).