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Mitternachtsformel

5. Klasse ‐ Abitur

Die Mitternachtsformel ist die allgemeine Lösungsformel für eine quadratische Gleichung der Form

0 = ax2 + bx + c.

Der Name kommt daher, dass diese Formel so wichtig ist, dass man sie auch noch um Mitternacht im Tiefschlaf bzw. auf dem Höhepunkt einer Party ohne Nachdenken aufsagen können muss.

Man kommt auf die Formel, indem man die Gleichung mithilfe einer sog. quadratischen Ergänzung umformt.

1. Faktor \(a \neq 0\) ausklammern

\(\displaystyle ax^2+bx+c=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ a\left (x^2+ \frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right )=0\)

2. „Null addieren":

\(\displaystyle \Leftrightarrow a\left[ x^2+ \frac{b}{a}x+ \left (\frac{b}{2a} \right )^2- \left (\frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a}=0\right] \)

3. Erste binomische Formel rückwärts anwenden, zusammenfassen und dann a wieder in die Summanden hineinmultiplizieren:
\(\displaystyle \Leftrightarrow a \left[ \left ( x+ \frac{b}{2a} \right )^2- \left (\frac{b^2}{4a^2}- \frac{4ac}{4a^2} \right ) \right] = 0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow a \left ( x+\frac{b}{2a}\right )^2-a \left( \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right )\ \ \Leftrightarrow \ \ \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

4. Mitternachtsformel:

 \(\displaystyle x_{1; \ 2} =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) bzw.   \(\displaystyle x_1 =\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}; \ \ x_2 =\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Achtung: Wegen \(a \neq 0\) (siehe oben) ist der Nenner immer definiert. Man muss aber aufpassen, dass unter der Wurzel kein negativer Term steht. Man nennt den Term D = b2 – 4ac, der darüber bestimmt, ob dies der Fall ist, auch die Diskriminante (lat. „die Entscheidende“) der quadratischen Gleichung.