Matrizen

Eine Matrix ist zunächst einmal einfach eine Tabelle, deren Komponenten, Einträge oder Koeffizienten Zahlen sind. Wenn eine Matrix m Zeilen und n Spalten hat, nennt man sie eine „m×n-Matrix“ (lies: „m-Kreuz-n-Matrix“).

Was solch ein Schema mathematisch interessant macht, ist einerseits, dass es Rechenregeln gibt, nach denen man Matrizen z. B. addieren, subtrahieren oder multiplizieren kann, und andererseits, dass man mit Matrizen ganz unterschiedliche Probleme aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beschreiben und lösen kann:

• In der Analytischen Geometrie entsprechen eine lineare Abbildung der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.
  Will man zwei solchen Abbildungen hintereinander ausführen („verketten“), braucht man nur die Abbildungsmatrizen miteinander (und dann mit dem Vektor) zu multiplizieren.
• Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems (LGS) von m Gleichungen mit n Variablen kann man als Einträge einer m×n-Matrix auffassen.
• In der Stochastik beschreibt man die zeitliche Entwicklung von mehrdimensionalen Zufallsvariablen mit Übergangsmatrizen.

Beispiele:

• \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) ist eine 2×2-Matrix,

• \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\) ist eine 3×3-Matrix,

• \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}\) ist eine m×n-Matrix.

Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen erfolgt komponentenweise:

\(\left( A \pm B \right)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}\)

z. B. \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & \frac 1 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & \frac 1 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

Für die Matrizenaddition und -subtraktion gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz: A ± B = B ± A und (A ± B) ± C = A ± (B ± C).

Wie Vektoren kann man auch Matrizen skalar multiplizieren: \((\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}\). Dabei gilt das Distributivgesetz: \(\lambda \cdot (A \pm B) = \lambda \cdot A \pm \lambda \cdot B\).

Wie man Matrizen miteinander oder mit Vektoren multipliziert, wird hier erklärt.

Begriffe:

• Die Spalten oder Zeilen einer Matrix kann man als Vektoren (Spaltenvektoren, Zeilenvektoren) auffassen, man schreibt z. B.
  \((\vec a_1; \vec a_2; \vec a_3) \equiv \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\) mit \(\vec a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix}\), \(\vec a_2 = \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix}\) und \(\vec a_3 = \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{pmatrix}\).

• Jeder Vektor ist auch eine Matrix mit einer Spalte (n = 1, auch in diesem Zusammenhang spricht man von einem Spaltenvektor), oder mit einer Zeile (m = 1, auch hier sagt man Zeilenvektor).

• Wenn m = n ist (gleich viele Spalten wie Zeilen), heißt die Matrix aus naheliegenden Gründen eine quadratische Matrix.

• Wenn alle Einträge außer für i = j null sind (\(i \ne j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\)), hat man eine Diagonalmatrix.
  \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\)

• Sind alle Einträge unterhalb der Diagonalen null (\(i > j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\)), spricht man von einer oberen Dreiecksmatrix
  \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\)
  bei einer unteren Dreiecksmatrix gilt entsprechend \(i < j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\).

• Wenn man bei einer Matrix Zeilen- und Spaltenindex vertauscht (also die Einträge an der Diagonalen spiegelt), erhält man die transponierte Matrix (Matrixtransposition), man schreibt
  \(\left( A^{\text T}\right)_{ij} = \left( A\right)_{ji}\).

• Die Matrix  \({\bf 1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}\) ist die m×n-Einheitsmatrix, die Matrix \({\bf 0} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}\) heißt Nullmatrix.

• Wenn es zu einer Matrix A einer Matrix A^–1 gibt, sodass
  A · A^–1 = 1
  dann ist A^–1 die inverse Matrix von A (Matrixinversion), also sozusagen der Kehrwert der Matrix bzw. das inverse Element der Matrizenmultiplikation.

• Wenn für eine Matrix A^T = A^–1 gilt, ist sie eine Orthongonalmatrix und die Abbildungsmatrix einer Spiegelung und/oder Drehung.

Bei einer quadratischen 2×2-Matrix A ist die Zahl

\(\det A = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \)

die Determinante dieser Matrix. Für eine 3×3-Matrix A gilt

\(\det A =\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ \ \\ \quad \quad \ \ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12}\)

(Die Definition der Determinante von größeren quadratischen Matrizen ist sehr unübersichtlich und kommt in der Schule kaum vor.)

Die Determinante einer Orthogonalmatrix hat den Betrag 1, die Determinante eines eindeutig lösbaren LGS ist ungleich null.