Die Hesse’sche Normalform (nach dem Mathematiker Otto Hesse, auch Hesse’sche Normalenform, HNF) ist ein Spezialfall der Normal(en)form und damit eine spezielle Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn ein Normalenvektor bereits bekannt und dieser auch bereits normiert (also ein Normaleneinheitsvektor \(\vec n^0\) bzw. \(\hat n\)) ist.
Wenn eine Gerade oder Ebene den Normaleneinheitsvektor \(\hat n\) und den (senkrechten) Abstand d vom Koordinatenursprung hat, lautet die Hesse’sche Normalform der Ebenengleichung
\(E: \ \ \hat n \circ \vec x = d\)
Dabei bezeichnet „\(\circ\)“ das Skalarprodukt. Zur Geraden bzw. Ebene gehören also alle Punkte, deren Skalarprodukt mit dem normierten Normalenvektor gerade dem minimalen Abstand vom Ursprung entspricht.
Punkte, für die \(\vec x\circ \hat n > d\) ist, liegen auf der dem Ursprung abgewandten Seite, also auf der Seite, in die der Normalenvektor zeigt. Punkte mit \(\vec x\circ \hat n < d\) liegen auf der Ursprungsseite der Gerade oder Ebene.
Wenn statt des Abstands vom Koordinatenursprung ein Aufpunkt \(\vec p\) bekannt ist, kann man die HNF in der Form
\(E: \ \ \hat n \circ \left( \vec x - \vec p \right) = 0\)
schreiben.
Beispiel:
Für eine Ebene lautet ein Normalenvektor \( \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\), Normierung führt auf den Normaleneinheitsvektor \(\displaystyle \hat n = \frac{1}{\left|\vec n \right|}\cdot \vec n = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}\), der Abstand der Ebene vom Ursprung ist d = 4.
Hesse’sche Normalform: \(\displaystyle E: \begin{pmatrix} 1/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 4\)
Daraus erhält man durch „Ausmultiplizieren“ sofort die Koordinatenform der Ebenengleichung: \( \displaystyle E:\ \ \frac{1}{3} x_1 - \frac{2}{3} \cdot x_2 + \frac{2}{3} \cdot x_3 - 4 = 0\)