Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt im Wesentlichen, dass die Ableitung die Umkehrung der Integration ist – und umgekehrt. Formal formuliert man das so:
Jede Integralfunktion F(x) ist differenzierbar, wenn ihr Integrand f(x) stetig ist, und die Ableitung ist gerade dieser Integrand:
\(\displaystyle F(x) = \int_a^xf(t) \,\text dt \ \ \Rightarrow \ \ F'(x) = f(x) \quad (f \text{ stetig in } I ; \ a, x \in I)\)
Beispiele:
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\(\displaystyle F (x) = \int\limits_{0}^{x} (2t+4)\,\text dt \ \ (x \in \mathbb{R}) \ \ \Rightarrow \ \ F' (x) = 2x + 4\)
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\(\displaystyle F (x) = \int\limits_{2}^{x} 2 \cdot \sin(x - \pi )\,\text dt \ \ (x \in \mathbb{R}) \ \ \Rightarrow \ \ F' (x) = 2 \cdot \sin(x - \pi )\)
Umgekehrt ist jede Integralfunktion eine Stammfunktion ihres stetigen Integranden. Daraus erhält man die wichtige Berechnungsformel für Integrale:
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,\text dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b \equiv \left. F(x)\right|_a^b\)
Beispiele:
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\(\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi } \sin x\, \text dx = [- \cos x]^\pi _0 = - \cos \pi - (- \cos 0) = 2\)
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\(\displaystyle \int\limits_{2}^{3} \frac{1}{x^2}\,\text dx = \left[ \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} \right]^3_2 = \left[ -\frac{1}{x} \right]^3_2 = - \frac{1}{3} - \left( - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}\)