Die Summen über die ersten n Glieder einer endlichen oder unendlichen Zahlenfolge (an) kann man als Glieder einer endlichen bzw. unendlichen Summenfolge (sn) auffassen mit \(s_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_k= a_1 + a_2 + \ldots + a_n\). Diese Summenfolge nennt man eine endliche bzw. unendliche Reihe. Die Glieder vor allem von unendlichen Reihen heißen auch Partialsummen (Teilsummen).
Beachte: Den Ausdruck mit dem „Summenzeichen“ \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\) liest man: „Summe (über) ak von k gleich eins bis n“. Es ist im Übrigen Vereinbarungssache, ob man die Summe bei 0 oder bei 1 startet.
Beispiele:
Endliche Reihe der ersten fünf Quadratzahlen
\(\displaystyle 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = \sum_{k=1}^5 k^2\) mit \(s_5 = 55\).
Endliche arithmetische Reihe: \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a+(k-1)\cdot d\), \(\displaystyle s_n = \frac{n}{2}\cdot (2 \cdot a + (n - 1) \cdot d) = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n )\)
für a1 = 1, an = n und d = 1 erhält man die endliche Reihe der ersten n natürlichen Zahlen mit \(\displaystyle s_n = \frac{n}{2} (1 + n) = \frac{n\cdot (n +1)}{2}\)
Endliche geometrische Reihe: \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a\cdot q^{k-1}\), \(\displaystyle s_n = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\) für \(a \neq 0, \ q \neq 0\) und \(q \neq 1\).
Unendliche Reihen
Wenn der Grenzwert S (auch: \(s_\infty\)) einer unendlichen Reihe existiert, dann konvergiert die Reihe (sonst divergiert sie) und man nennt diesen Grenzwert die Summe oder den Wert der Reihe und schreibt
Mithilfe des Summenzeichens „\(\displaystyle \sum\)“ notiert man dies folgendermaßen:
\(\displaystyle S =\lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k = 1}^\infty a_k= a_1 + a_2 + \ldots \) (unendliche Reihe)
Beispiel:
Die unendliche geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn \(|q| < 1\). Es gilt dann: \(\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=0}^\infty a\cdot q^{k} = \frac{a}{1-q}\).
Mit a1 = 2 und q = 0,2 erhält man \(\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=0}^\infty 2 \cdot \left(\frac 1 5 \right)^{k} = \frac{2}{1-\frac 1 5} = \frac 5 2\).