Ein Eigenvektor ist ein Vektor, dessen Richtung sich bei einer linearen Abbildung, d. h. bei Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix, nicht ändert. Das bedeutet, dass der Vektor bei dieser Abbildung höchstens länger oder kürzer (also „skaliert“), aber nicht gedreht wird. Der Skalierungsfaktor heißt dann Eigenwert.
Beispiel:
Die Matrix A = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\) hat die Eigenvektoren \(\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), denn es ist
\(A \cdot \vec v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = -1 \cdot \vec v_1\), \(A \cdot \vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = +1 \cdot \vec v_2\) und \(A \cdot \vec v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = +3 \cdot \vec v_3\).
Die zugehörigen Eigenwerte sind dann e1 = –1, e2 = +1 und e1 = +3.
Eigenvektoren treten nicht nur in der Analytischen Geometrie auf, sondern auch in vielen anderen Gebieten, z. B. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dort beschreibt man die zeitliche Entwicklung von mehrdimensionalen Zufallsvariablen durch Zufallsvektoren und Übergangsmatrizen, die bei langen Beobachtungszeiträumen in Grenzmatrizen übergehen können. Die Eigenvektoren der Grenzmatrix sind die Fixvektoren dieser Abbildungen.