Der Extremwertsatz ist ein Satz über stetige Funktionen. Er besagt:
- Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig ist, dann hat sie dort auch ein Maximum und ein Minimum.
Wenn f dazu auch noch differenzierbar ist, gilt:
- Diese beiden Extrema liegen entweder an den Grenzen des Intervalls, also bei a oder b, oder sie sind Nullstellen der ersten Ableitung.
Anmerkung: In den beiden Sätzen ist die Abgeschlossenheit des Intervalls [a; b] unverzichtbar.
Beispiel:
Die im offenen Intervall ]0; 3[ stetige Funktion \(f\! : x \mapsto \dfrac{1}{x}\) wächst für \(x \rightarrow 0\) über alle Grenzen, ist also unbeschränkt. Daher besitzt die Funktion kein Maximum im Intervall. Da die Funktion andererseits streng monoton fällt, wäre das Minimum die rechte Intervallgrenze x = 3, die ist aber bei einem offenen Intervall nicht im Intervall enthalten.
