Ein Eigenwert ist der Faktor, um den sich der Betrag eines Eigenvektors einer linearen Abbildung ändert, wenn er mit der Abbildungsmatrix multipliziert wird.
Die Aufgabe, die unbekannten Eigenwerte ei (und Eigenvektoren \(\vec v_i\)) zu einer gegebenen Matrix A zu finden, heißt Eigenwertproblem. Es soll dabei gelten:
\(A\cdot \vec v_i = e_i \cdot \vec v_i \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) \cdot \vec v_i = 0\)
(1 ist die Einheitsmatrix.) In Komponenten sieht dies (für dreidimensionale Vektoren) so aus:
\(\begin{pmatrix} a_{11} - e_i& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}- e_i & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}- e_i \end{pmatrix} \cdot \vec v_i = 0\)
Wenn man den uninteressanten Fall \(\vec v_i = \vec 0\) ausschließt, hat das zugehörige lineare Gleichungssystem genau dann Lösungen, wenn die Determinante \(\det \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) = 0\) verschwindet. Ausgeschrieben ist diese Gleichung ein Polynom dritten Grades, das sog. charakteristische Polynom der Matrix A, dessen Nullstellen die drei gesuchten Eigenwerte ei sind.
Beispiel:
A = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\), \(\det \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \det \begin{pmatrix} 3 - e_i & -1 & 2 \\ 0 & 1 - e_i & 0 \\ 0 & 2 & -1 - e_i \end{pmatrix} = 0\)
Charakteristisches Polynom: \(-e_i^3+3e_i^2+e_i-3 = 0 \ \ \Leftrightarrow e_1 = -1;\ e_2 = 1;\ e_3 = 3\)
Die Matrix A hat die Eigenwerte –1, 1 und 3. Die Eigenvektoren erhält man, wenn man jeweils einen Eigenwert in das Gleichungssystem einsetzt und dieses dann löst (oder natürlich, wie auch bei den Eigenwerten, mit einem guten Taschenrechner oder einer geeigneten Mathe-Software).
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