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Lexikon

Zwischenwertsatz und Nullstellensatz

5. Klasse ‐ Abitur

Der Zwischenwertsatz und sein Spezialfall, der Nullstellensatz, sind zwei Sätze über stetige Funktionen. Der Zwischenwertsatz besagt im Wesentlichen, dass eine Funktion keine Werte „auslässt“. Formal lautet er:

  • Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [ab] stetig ist, dann gibt es für jeden Wert y0 zwischen den Funktionswerten der Intervallgrenzen, f(a) und f(b), mindestens ein \(x_0 \in [a; b]\), dessen Funktionswert genau y0 ist: f(x0) =y0.

Das bedeutet:

  1. Die Zahl y0 ist ein Funktionswert von f.
  2. 2. Die horizontale Gerade yy0 schneidet den Graphen Gf.

 

Ein Sonderfall des Zwischenwertsatzes ist der Nullstellensatz:

  • Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [ab] stetig ist und die Funktionswerte an den Intervallgrenzenf(a) und f(b), unterschiedliche Vorzeichen haben, dann hat f in [ab] mindestens eine Nullstelle.

Der Graph Gf schneidet in einem solchen Fall die x-Achse im Intervall [ab] mindestens einmal.

Beispiel: Die Funktion f mit \(f (x) = x^5 - 1\) ist stetig im Intervall [0; 3] und es sind f(0) = –1 < 0 und f(3) = 242 > 0.  \(f (0) = - 1 < 0, f (3) = 242 > 0\). Also hat f mindestens eine Nullstelle im Intervall [0; 3].

Anmerkung: Man kann durch Addition oder Subtraktion einer Konstante immer erreichen, dass die Funktionswerte an den Intervallgrenzen unterschiedliche Vorzeichen haben.