Ziehen ohne Zurücklegen

Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass eine einmal gezogene Kugeln nicht mehr in die Urne zurückgelegt wird, sondern „draußen“ bleibt. Dadurch ändert sich mit jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Kugelsorte gezogen wird. Außerdem kann man in diesem Fall (logischerweise) höchstens N-mal ziehen (Zahl der Ziehungen \(k \le N\)).

Beispiel:

Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Wenn ich ein beliebiges Bonbon herausnehme und esse, betragen die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Ziehen P(„blau“) = 4/9, P(„rot“) = 3/9 und P(„gelb“) = 2/9. Bei der zweiten Ziehung gibt es nur noch acht Bonbons und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten hängen davon ab, welche Farbe das erste „gezogene“ Bonbon hatte. Esse ich z. B. zuerst zwei gelbe Bonbons, ist P(„gelb“)  beim zweiten Ziehen nur noch 1/8 und ab dem dritten Ziehen gleich 0.

Mithilfe der Kombinatorik kann man ausrechnen, wie viele Fälle es insgesamt gibt. Und zwar entspricht diese Zahl der Zahl der Variationen bzw. Kombinationen ohne Wiederholungen (denn es kann jedes der 8 Bonbons nur genau einmal gezogen werden):

• Wenn es auf die Reihenfolge, in der gezogen wird, ankommt (z. B. wenn mich das Ereignis „erst ein rotes, dann ein gelbes Bonbon“ interessiert), dann gibt es \(\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!} = k!\cdot \begin{pmatrix}N\\k\end{pmatrix}\) (Fakultät, Binomialkoeffizienten) verschiedene Möglichkeiten, dies ist die Zahl der k-Variationen ohne Wiederholungen von N. Im Beispiel wären es \(\displaystyle \frac{8!}{6!} = 2\cdot \begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} = 56\).
• Ohne Beachtung der Reihenfolge entspricht die Zahl der möglichen Ausgänge der Zahl der k-Kombinationen ohne Wiederholungen von N, beträgt also \(\begin{pmatrix}N\\k\end{pmatrix}\). Im Bonbon-Beispiel könnte es hier um das Ereignis „zweimal Ziehen und dabei ein rotes und ein gelbes Bonbon kriegen“ gehen. Die möglichen Fälle wären dann \(\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} = 28\).

Für die konkrete Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beim Ziehen aus einer Urne benutzt man am einfachsten ein Baumdiagramm.