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Verkettung von Funktionen

5. Klasse ‐ Abitur

Ähnlich wie lineare Abbildungen (z. B. Drehungen, Spiegelungen) in der Analytischen Geometrie kann man in der Analysis Funktionen hintereinanderausführen. Dies nennt man dann die Verkettung oder Verknüpfung f zweier Funktionen u und v und notiert dies formal so:

\(f = u\circ v \!: x \mapsto f(x)=u(v(x)) \ \ \ (x\in D_v)\)

Den Ausdruck „\(u\circ v\)“ liest man: „u Kuller v“.

Achtung: Verkettete Funktionen muss man „von rechts nach links“ abarbeiten: Wenn man \(f = u\circ v\) auf ein \(x\in D_v\) anwendet, wirkt zuerst die rechts stehende Funktion \(v\) auf x und dann die links stehende Funktion u auf das Ergebnis \(v(x)\)!

Nochmal Achtung: Wie auch bei der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen (siehe Matrizenmultiplikation) kommt es im Allgemeinen auf die Reihenfolge an: \(u\circ v \ne v \circ u\), für die Verkettung von Funktionen gilt also kein Kommutativgesetz!

In der Differenzialrechnung bezieht sich die Kettenregel auf verkettete Funktionen, in der Integralrechnung die Substitutionsregel.