Funktionen

Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung bzw. Abbildung zwischen einer Ausgangsmenge X, die man hier in der Regel die Definitionsmenge D_f der Funktion nennt, und einer Zielmenge oder Bildmenge Y, die man bei Funktionen als die Wertemenge W_f bezeichnet. Statt Definitionsmenge und Wertemenge sagt man oft auch Definitions- bzw. Wertebereich.
Jedes Element \(x \in D_f\) heißt Argument von \(f\). Das dem Argument x zugeordneten Element \(y \in W_f\) heißt Funktionswert. Man schreibt: „y = f(x)“ und liest dies: „y gleich f von x“. Der Term \(f(x)\) heißt Funktionsterm, die Gleichung y = f(x) ist die Funktionsgleichung von f.

Ganz formal beschreibt man eine Funktion folgendermaßen: \(f\!: X \rightarrow Y, \ x\mapsto y = f(x)\).

Der Funktionsgraph (Graph) G_f der Funktion f ist die Menge aller Punkte P(x|f(x)) mit \(x\in D_f\). Man stellt ihn grafisch im Achsenkreuz dar.

Beispiel:
\(f:x\mapsto y=2x\) mit Definitionsmenge D_f = [0; 4], Funktionsterm f(x) = 2x, Funktionsgleichung y = f(x) = 2x. Der Funktionswert an der „Stelle“ x = 1,5 ist y = f(1.5) = 2 · 1,5 = 3. Alle Funktionswerte von Argumenten aus der Definitionsmenge bilden die Wertemenge W_f = [0; 8].

Eigenschaften von Funktionen und Graphen

• Zwei Funktionen f und g sind gleich, wenn ihre Definitionsmengen D_f und D_g übereinstimmen und wenn für alle \(x\in D_f = D_g = D\) gilt: \(f(x)=g(x)\).
  Beispiel:
  Die Funktionen \(f:x \mapsto f(x)=(x-2)^2\), \(D_f=\mathbb{R}\) und \(g:x\mapsto g(x) =x^2-4x+4\), \(D_g=\mathbb{R}\) sind gleich, da \(D_f=D_g=\mathbb{R}\) und \(f(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4=g(x)\).
  Achtung: Die Funktionen \(f:x\mapsto f(x)=\frac{(x-1)x}{x}\), \(D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\}\) und \(g:x\mapsto g(x)=x-1\), \(D_g=\mathbb{R}\) sind nicht gleich: Hier gilt zwar nach dem Kürzen: \(f(x)=g(x)\). Da aber \(D_f \neq D_g\), sind f und g nicht gleich.
   
• Man kann Symmetrie und Formänderungen von Funktionsgraphen oft schon am Funktionsterm ablesen. So ist der Graph einer Funktion, für die f(–x) = f(x) für alle \(x \in D_f\) gilt, immer symmetrisch zur y-Achse.
   
• Eine Funktion hat immer nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse, den y-Achsenabschnitt (andernfalls gäbe es zwei Funktionswerte für x = 0 und die Funktion wäre keine eindeutige Zuordnung). Sie kann dagegen beliebig viele Schnittpunkte mit der x-Achsen haben, diesen heißen die Nullstellen der Funktion.
   
• Man Funktionen auch „addieren“, „multiplizieren“, Differenzfunktionen bilden oder Funktionen miteinander verknüpfen. Dies geschieht jeweils punktweise, z. B. ist
  (f + g)(x) = f(x) + g(x).
   
• Wenn die Funktionswerte mit zunehmendem x niemals kleiner werden, steigt ihr Graph monoton an, werden sie niemals größer, fällt er monoton. Gibt es einen Wert, der größer bzw. kleiner als alle Funktionswerte ist, nennt man die Funktion beschränkt.
   

Mithilfe der Differenzial- und Integralrechnung kann man noch wesentlich mehr über das Verhalten von Funktionen und ihrer Graphen herausfinden. Zusammenfassend nennt man die Untersuchung von Funktionen und Funktionsgraphen mithilfe der Analysis Kurvendiskussion.