Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differenzialrechnung das zweite Hauptteilgebiet der Analysis. Sie liefert zwei Antworten auf zwei grundsätzliche Fragen, die sich in gewisser Weise als dieselbe Antwort herausstellen. Diese beiden Fragen sind:

• Wie groß ist die Fläche unter einer geraden oder gekrümmten Kurve, die sich als Graph einer Funktion darstellen lässt? Antwort: Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral $\displaystyle \int_a^b\!f(x)\,\text dx$.

• Wie sieht die bzw. eine Funktion aus, deren Ableitung eine gegebene Funktion f ist? Antwort: Das unbestimmte Integral $\displaystyle \int f(x)\,\text dx = F(x)+C \ \ (C \in \mathbb R)$ liefert die Menge der Stammfunktionen von f.

​Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt dann, dass man mit dem unbestimmten Integral bestimmte Integrale ausrechnen kann, genauer gesagt:

$\displaystyle \int_a^b\!f(x)\,\text dx = \Big[F \Big]_a^b = F(b)-F(a)$

Die Zahlen a und b, die das Integrationsintervall [a; b] begrenzen, nennt man die untere (a) und obere (b) Integrationsgrenze.

Sowohl beim bestimmten wie beim unbestimmten Integral nennt man die Funktion f(x), die „im Integral“ steht, den Integranden.

Eine detaillierte Herleitung des bestimmten Integrals beruht auf der Betrachtung von Ober- und Untersummen für die gesuchte Flächenmaßzahl.

Integrationsverfahren

Es gibt, wie beim Ableiten, auch beim Integrieren eine Reihe von Regeln und Techniken:

• Potenzregel: 
  $\displaystyle \int x^r\,\text dx = \frac 1{r+1}\cdot x^{r+1}+C \ \ (r \in \mathbb R\setminus \{1\})$
• natürlicher Logarithmus und e-Funktion: 
  $\displaystyle \int x^{-1}\,\text dx =\int \frac {\text dx} x = \ln|x| +C \ \ (r \in \mathbb R\setminus \{1\})$
  $\displaystyle \int \text e^x\,\text dx = \text e^x +C$
• partielle Integration:
  $\displaystyle \int_a^b\! u (x) \cdot v' (x)\, \text dx = \Big[u (x) \cdot v (x)\Big]^b_a -\int_a^b\! u' (x) \cdot v (x)\,\text dx$
• Substitutionsregel:
  $\displaystyle \int f ( g(x) ) \cdot g' (x)\, \text dx = \int f ( t ) \, \text dt = F (x) + C$ mit  t = g(x)  bzw.
  $\displaystyle \int_a^b\! f ( g(x) ) \cdot g' (x)\, \text dx = \int_{g(a)}^{g(b)}\! f ( t ) \, \text dt = \Big[F (x) \Big]_{g(a)}^{g(b)}$
• Integrale von gebrochenrationalen Funktionen kann man auf Grundintegrale zurückführen mithilfe einer sog. Partialbruchzerlegung, zum Beispiel bekommt man für $\displaystyle f (x) = \frac{2x+6}{x^2 - 1} = \frac{-2}{x + 1} + \frac{4}{x - 1}$
  $\displaystyle \int\! f(x)\, \text dx = \int\! \frac{2x+6}{x^2-1}\, \text dx = \int\! \frac{-2}{x + 1}\,\text dx + \int\! \frac{4}{x - 1}\, \text dx = - 2 \ln|x + 1| + 4 \ln|x - 1| + C$

Achtung: Anders als beim Ableiten kann man beim Integrieren nur selten nach „Kochrezept“ vorgehen, sondern man muss auch eine gewisse Kreativität einbringen – früher sagte man hierzu: „Ableiten ist Handwerk, Integrieren ist Kunst“!