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8. ‐ 9. Klasse

Kreisring und Kreisausschnitt

Dauer: 30 Minuten

Was ist ein Kreisring und Kreisausschnitt?

Ein Kreisring ist eine Fläche, die von zwei ineinanderliegenden Kreisen mit demselben Mittelpunkt eingeschlossen wird. Zwei Kreise, die sich denselben Mittelpunkt teilen, werden auch konzentrisch genannt.

Ein Kreisausschnitt hingegen ist eine Fläche, die durch zwei Kreisradien begrenzt ist. Wie bei jeder anderen Fläche kannst du auch hier die gängigen Maße berechnen, z. B. Umfang und Flächeninhalt. Hierbei bilden die Formeln für den Kreis die Grundlage.

Wie du damit rechnest, lernst du in den Videos. Es stehen viele Aufgaben zum Üben bereit. Wenn du all das durchgearbeitet hast, löse doch einmal die Prüfungen zum Thema Kreis.

Wie du Flächeninhalte von Kreisringen berechnest

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Flächeninhalt von Kreisringen berechnen

Flächeninhalt von Kreisringen berechnen (einfach)
Aufgabe:
Ergänze die fehlenden Worte.
Die eines Kreisrings kannst du immer berechnen, indem du die Fläche des Kreises von der Fläche des Kreises abziehst.
Flächeninhalt von Kreisringen berechnen (mittel)
Aufgabe:
Das Verkehrsschild „Verbot für Fahrzeuge aller Art“ besitzt einen roten Kreisring.
 

 

 

 

 

Das Verkehrsschid hat einen Durchmesser von einem Meter und der innere Kreis einen Radius von 35cm.
Ergänze den Flächeninhalt des roten Kreisrings auf zwei Stellen hinter dem Komma genau.
Die Fläche des roten Kreisrings beträgt  m2.
Flächeninhalt von Kreisringen berechnen (schwer)

Aufgabe:
In der Figur sind Teile von Kreisringen dargestellt, die die Mittelpunkte A,\, B und C haben. Der Radius zum Innen- sowie zum Außenkreis vom Mittelpunkt ist bei allen Punkten identisch.
Der Radius des Innenkreises ist r_{Innenkreis}=5{,}5\,\text{cm} und der des Außenkreises r_{Außenkreis}=8{,}7\,\text{cm}.
 
symmetrische Kreisringfigur

 

 

107{,}1\,\text{cm}^2
285{,}6\,\text{cm}^2
107{,}1\,\text{cm}^2
 71{,}4\, \text{cm}^2
Der Kreisring um Punkt A hat einen Flächeninhalt von
.
Der Kreisring um Punkt B hat einen Flächeninhalt von
Der Kreisring um Punkt C hat einen Flächeninhalt von
.
Die Figur hat eine Fläche von
.

Wie du Kreisausschnitte und die Bogenlinie berechnest

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Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen

Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen (einfach)
Aufgabe:
Überprüfe, in welcher Darstellung s den Kreisbogen darstellt.
Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen (mittel)
Aufgabe:
Berechne für die verschiedenen Kreise den Kreisbogen auf zwei Stellen hinter dem Komma genau und füge den Wert in die Tabelle ein.
 
Radius r=4\,\text{cm} r=6\,\text{cm} r=10\,\text{cm}
Winkel \alpha=40^\circ \beta=120^\circ \gamma=270^\circ
 Kreisbogen  s=  s=  s= 
 
 
Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen (schwer)
Aufgabe:
Zeichne die Kreisausschnitte mit den angegebenen Größen.
Berechne die Länge der zugehörigen Bögen und ergänze sie in der Tabelle. Runde den Wert dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma genau.
  Radius  Winkel Kreisbogen
1. r=7\,\text{cm} \alpha=63^\circ s=  \text{cm}
2. r=2\,\text{cm} \beta=153^\circ s=  \text{cm}
3. r=0{,}8\,\text{dm} \gamma=110^\circ s=  \text{cm}
 

Was du wissen musst

  • Der Kreisring wird von einem größeren Kreis mit Radius r_{\text{gr. Kreis}} und einem kleineren Kreis mit Radius r_{\text{kl. Kreis}} begrenzt. Der Flächeninhalt lasst sich dann mit folgender Formel berechnen:

    A_{\text{Kreisring}} = \pi \cdot \left( r_{\text{gr. Kreis}}^2 -r_{\text{kl. Kreis}}^2 \right)

    Hierbei sind r und \pi der Radius und die Kreiszahl Pi. Beachte bei der Bearbeitung deiner Aufgaben, dass häufig der Durchmesser d der Kreise und nicht deren Radius r angegeben wird. Da aber r = \frac{d}{2} gilt, kannst du auch dann den Kreisringinhalt bestimmen:

    A_{\text{Kreisring}} = \pi \cdot \left( \frac{d_{\text{gr. Kreis}}^2}{4} - \frac{d_{\text{kl. Kreis}}^2}{4} \right) = \frac{\pi}{4} \cdot \left( d_{\text{gr. Kreis}}^2 - d_{\text{kl. Kreis}}^2 \right)

    Darstellung eines Kreisrings in Form einer Uhr

     

  • Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen. Also muss der Flächeninhalt die Differenz dieser zwei Kreisflächen sein.

    A_{\text{Kreisring}} = A_{\text{gr. Kreis}} - A_{\text{kl. Kreis}}

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist:

    A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2

    Durch Verwenden dieser Formel erhält man für den Flächeninhalt eines Kreisringes:

    A_{\text{Kreisring}} = \pi \cdot r_{\text{gr. Kreis}}^2 - \pi \cdot r_{\text{kl. Kreis}}^2 = \pi \cdot \left( r_{\text{gr. Kreis}}^2 -r_{\text{kl. Kreis}}^2 \right)

  • Wie dir sicher schon bekannt ist, kann man aus zweidimensionalen Flächen bestimmte dreidimensionale Körper bilden. Aus Kreisringen lassen sich Hohlzylinder und Kugelschalen bilden.

    Der Hohlzylinder entsteht, wenn man einen Kreisring entlang einer Höhe stapelt. Ein solcher Hohlzylinder findet sich zum Beispiel bei dem Hut, den man Zylinder nennt. Das Volumen wird dann ähnlich wie der Flächeninhalt der Kreisringe berechnet, nämlich indem man das Volumen des kleiner inneren Zylinders vom größeren äußeren subtrahiert. Daraus ergibt sich die Formel:

    V_{\text{Hohlzylinder}} = \pi \cdot h \cdot \left( r_{\text{groß}} - r_{\text{klein}} \right)

    Eine Kugelschale entsteht, wenn man beide konzentrischen Kreise zu Kugeln erweitert. Eine solche Schale ist zum Beispiel der Erdmantel. Auch hier lässt sich das Volumen mithilfe der Radiusdifferenz berechnen.

    V_{\text{Kugelschale}} = \frac{4\pi}{3} \cdot \left( r_{\text{groß}} - r_{\text{klein}} \right)

  • Für den Kreisausschnitt – auch Kreissektor genannt – ist die Berechnung der Länge des Kreisbogens Voraussetzung. Hierbei gilt:

    s = 2r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

    Die Bogenlinie entspricht also dem Anteil \frac{\alpha}{360^\circ} des gesamten Kreisumfangs U_{\text{Kreis}} = 2\pi r. Damit lassen sich dann der Umfang U und der Flächeninhalt A berechnen:

    U_{\text{Kreissektor}} = 2r + s = 2r \cdot \left( 1 + \pi \frac{\alpha}{360^\circ}\right)

    Darstellung eines Kreisausschnittes mit Kennzeichnung der wichtigsten Größen

     

  • Kreisringe finden sich in unserer Umwelt immer wieder. Beispiele dafür sind unter anderem Querschnitte von Gebäuden, Rohren und Schornsteinen. Wir sehen sie in unserer Umgebung überall, aber bemerken sie aufgrund ihrer Alltäglichkeit kaum. Kreisringe müssen jedoch wie bei den genannten Beispielen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit sie zweckmäßig verwendet werden können. Deshalb muss man sich bei der Planung eines Schornsteins auch Gedanken zu seinem Fassungsvermögen, aber auch zu der Menge an Material für den Bau und zu seiner Stabilität machen.

    Kreissektoren hingegen findet man bei Gegenständen wieder, die sich nur zum Teil um ihren eigenen Mittelpunkt drehen. Ein solches Verhalten ist dir vielleicht von Rasensprengern bekannt. Sie versprühen Wasser in einem bestimmten Radius und bewegen sich meist nicht komplett um ihre eigene Achse. Mithilfe der dir bekannten Formeln kannst du dann ihre Reichweite bestimmen.

    Für all diese Berechnungen wird das Bogenmaß benötigt. Es gibt durch die Länge des Kreisbogens den Winkel des Kreissektors an. Hierbei gilt folgendes Verhältnis:

    \frac{\text{Kreisbogen}}{\text{Kreisumfang}} = \frac{\text{Mittelpunktswinkel}}{\text{Vollwinkel}}

    Dass sich mit dieser Formel Bogenmaß und Winkelmaß ineinander umrechnen lassen, kann man zum Vorteil beim Rechnen mit trigonometrischen Funktionen verwenden.