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Kreisring und Kreisausschnitt

8. ‐ 9. Klasse Dauer: 30 Minuten

Was ist ein Kreisring und Kreisausschnitt?

Ein Kreisring ist eine Fläche, die von zwei ineinanderliegenden Kreisen mit demselben Mittelpunkt eingeschlossen wird. Zwei Kreise, die sich denselben Mittelpunkt teilen, werden auch konzentrisch genannt.

Ein Kreisausschnitt hingegen ist eine Fläche, die durch zwei Kreisradien begrenzt ist. Wie bei jeder anderen Fläche kannst du auch hier die gängigen Maße berechnen, z. B. Umfang und Flächeninhalt. Hierbei bilden die Formeln für den Kreis die Grundlage.

Wie du damit rechnest, lernst du in den Videos. Es stehen viele Aufgaben zum Üben bereit. Wenn du all das durchgearbeitet hast, löse doch einmal die Prüfungen zum Thema Kreis.

Wie du Flächeninhalte von Kreisringen berechnest

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Flächeninhalt von Kreisringen berechnen

Flächeninhalt von Kreisringen berechnen

Flächeninhalt von Kreisringen berechnen

Wie du Kreisausschnitte und die Bogenlinie berechnest

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Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen

Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen

Kreisausschnitte und Bogenlinie berechnen

Was du wissen musst

  • Wie berechnet man die Fläche eines Kreisrings?

    Der Kreisring wird von einem größeren Kreis mit Radius \(r_{\text{gr. Kreis}}\) und einem kleineren Kreis mit Radius \(r_{\text{kl. Kreis}}\) begrenzt. Der Flächeninhalt lasst sich dann mit folgender Formel berechnen:

    \(A_{\text{Kreisring}} = \pi \cdot \left( r_{\text{gr. Kreis}}^2 -r_{\text{kl. Kreis}}^2 \right)\)

    Hierbei sind \(r\) und \(\pi\) der Radius und die Kreiszahl Pi. Beachte bei der Bearbeitung deiner Aufgaben, dass häufig der Durchmesser \(d\) der Kreise und nicht deren Radius \(r\) angegeben wird. Da aber \(r = \frac{d}{2}\) gilt, kannst du auch dann den Kreisringinhalt bestimmen:

    \(A_{\text{Kreisring}} = \pi \cdot \left( \frac{d_{\text{gr. Kreis}}^2}{4} - \frac{d_{\text{kl. Kreis}}^2}{4} \right) = \frac{\pi}{4} \cdot \left( d_{\text{gr. Kreis}}^2 - d_{\text{kl. Kreis}}^2 \right)\)

    Darstellung eines Kreisrings in Form einer Uhr

     

  • Wie leitet man die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Kreisrings her?

    Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen. Also muss der Flächeninhalt die Differenz dieser zwei Kreisflächen sein.

    \(A_{\text{Kreisring}} = A_{\text{gr. Kreis}} - A_{\text{kl. Kreis}}\)

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist:

    \(A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2\)

    Durch Verwenden dieser Formel erhält man für den Flächeninhalt eines Kreisringes:

    \(A_{\text{Kreisring}} = \pi \cdot r_{\text{gr. Kreis}}^2 - \pi \cdot r_{\text{kl. Kreis}}^2 = \pi \cdot \left( r_{\text{gr. Kreis}}^2 -r_{\text{kl. Kreis}}^2 \right)\)

  • Welche Körper kann man aus einem Kreisring bilden?

    Wie dir sicher schon bekannt ist, kann man aus zweidimensionalen Flächen bestimmte dreidimensionale Körper bilden. Aus Kreisringen lassen sich Hohlzylinder und Kugelschalen bilden.

    Der Hohlzylinder entsteht, wenn man einen Kreisring entlang einer Höhe stapelt. Ein solcher Hohlzylinder findet sich zum Beispiel bei dem Hut, den man Zylinder nennt. Das Volumen wird dann ähnlich wie der Flächeninhalt der Kreisringe berechnet, nämlich indem man das Volumen des kleiner inneren Zylinders vom größeren äußeren subtrahiert. Daraus ergibt sich die Formel:

    \(V_{\text{Hohlzylinder}} = \pi \cdot h \cdot \left( r_{\text{groß}} - r_{\text{klein}} \right)\)

    Eine Kugelschale entsteht, wenn man beide konzentrischen Kreise zu Kugeln erweitert. Eine solche Schale ist zum Beispiel der Erdmantel. Auch hier lässt sich das Volumen mithilfe der Radiusdifferenz berechnen.

    \(V_{\text{Kugelschale}} = \frac{4\pi}{3} \cdot \left( r_{\text{groß}} - r_{\text{klein}} \right)\)

  • Wie berechnet man Umfang und Flächeninhalt eines Kreisausschnitts?

    Für den Kreisausschnitt – auch Kreissektor genannt – ist die Berechnung der Länge des Kreisbogens Voraussetzung. Hierbei gilt:

    \(s = 2r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\)

    Die Bogenlinie entspricht also dem Anteil \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) des gesamten Kreisumfangs \(U_{\text{Kreis}} = 2\pi r\). Damit lassen sich dann der Umfang \(U\) und der Flächeninhalt \(A\) berechnen:

    \(U_{\text{Kreissektor}} = 2r + s = 2r \cdot \left( 1 + \pi \frac{\alpha}{360^\circ}\right)\)

    Darstellung eines Kreisausschnittes mit Kennzeichnung der wichtigsten Größen

     

  • Wofür braucht man Kreisringe und Kreisausschnitte?

    Kreisringe finden sich in unserer Umwelt immer wieder. Beispiele dafür sind unter anderem Querschnitte von Gebäuden, Rohren und Schornsteinen. Wir sehen sie in unserer Umgebung überall, aber bemerken sie aufgrund ihrer Alltäglichkeit kaum. Kreisringe müssen jedoch wie bei den genannten Beispielen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit sie zweckmäßig verwendet werden können. Deshalb muss man sich bei der Planung eines Schornsteins auch Gedanken zu seinem Fassungsvermögen, aber auch zu der Menge an Material für den Bau und zu seiner Stabilität machen.

    Kreissektoren hingegen findet man bei Gegenständen wieder, die sich nur zum Teil um ihren eigenen Mittelpunkt drehen. Ein solches Verhalten ist dir vielleicht von Rasensprengern bekannt. Sie versprühen Wasser in einem bestimmten Radius und bewegen sich meist nicht komplett um ihre eigene Achse. Mithilfe der dir bekannten Formeln kannst du dann ihre Reichweite bestimmen.

    Für all diese Berechnungen wird das Bogenmaß benötigt. Es gibt durch die Länge des Kreisbogens den Winkel des Kreissektors an. Hierbei gilt folgendes Verhältnis:

    \(\frac{\text{Kreisbogen}}{\text{Kreisumfang}} = \frac{\text{Mittelpunktswinkel}}{\text{Vollwinkel}}\)

    Dass sich mit dieser Formel Bogenmaß und Winkelmaß ineinander umrechnen lassen, kann man zum Vorteil beim Rechnen mit trigonometrischen Funktionen verwenden.