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Bogenlinie und Mittelpunktswinkel

8. ‐ 9. Klasse Dauer: 15 Minuten

Was ist ein Mittelpunktswinkel und eine Bogenlinie?

 In diesem Lernweg erfährst du, wie du mithilfe der Bogenlinie den Mittelpunktswinkel eines Kreises berechnest.

Der Mittelpunktswinkel wird auch Zentriwinkel genannt. Du erkennst ihn daran, dass sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt. Ein Kreis hat einen Mittelpunktswinkel von \(360°\), wobei die Bogenlinie der Umfang ist. In diesem Lernweg geht es um den Mittelpunktswinkel und die Bogenlinie eines Kreissektors. Ein Kreissektor ist eine Fläche im Kreis, die durch zwei Radien und die Bogenlinie begrenzt wird. Die Größe dieser Bogenlinie ist abhängig vom Mittelpunktswinkel.

Die Bogenlinie eines Kreissektors wird auch Kreisbogen genannt. Dabei handelt es sich um den Teil der Kreislinie, der zu einem bestimmten Kreisausschnitt gehört. Die Bogenlinie ist also ein bestimmter Ausschnitt des Umfangs.

Wenn du dein Wissen zu diesem Thema überprüfen möchtest, dann kannst du die Klassenarbeit Berechnungen am Kreis (1) bearbeiten.

Wie du den Mittelpunktswinkel berechnest

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Mittelpunktswinkel berechnen

Mittelpunktswinkel berechnen

Mittelpunktswinkel berechnen

Was du wissen musst

  • Wie hängt der Mittelpunktswinkel mit der Bogenlinie zusammen?

    Der Mittelpunktswinkel ist entscheidend für den Kreissektor. In Abhängigkeit vom Radius bestimmt der Mittelpunktswinkel die Größe der Bogenlinie.  

    Kreissektoren können unterschiedlich große Bogenlinien haben, obwohl sie den gleichen Radius haben. Das liegt daran, dass sie unterschiedlich große Mittelpunktswinkel haben. Das funktioniert auch andersherum. Bei gleichem Mittelpunktswinkel können unterschiedliche Bogenlinien entstehen. Das geht jedoch nur, wenn sie unterschiedlich große Radien haben. 

    Drei Kreisausschnitte, bei denen jeweils zwei den gleichen Radius und zwei den gleichen Mittelpunktswinkel haben

    Die Bogenlinie ist ein Ausschnitt der gesamten Kreislinie. Die gesamte Kreislinie ist nichts anderes als der Umfang \(u\) des Kreises.

  • Wie berechnet man Bogenlinie und Mittelpunktswinkel?

    Ein kompletter Kreis hat den Umfang \(u\) als Bogenlinie und einen Mittelpunktswinkel von \(360°\). Da in deiner Aufgabe immer der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) oder die Bogenlinie \(b\) eines Kreissektors gegeben ist, kannst du die Aufgabe mit einem Dreisatz lösen:

    \(\frac{\alpha}{360°}=\frac{b}{u}\)

    Durch Einsetzen deiner Werte und Umstellen nach deiner gesuchten Größe, kannst du die Aufgabe lösen. 

    Ist die Bogenlinie gesucht, sieht die Formel wie folgt aus: 

    \(b=\frac{\alpha\cdot u}{360°}\)

    Ist der Mittelpunktswinkel gesucht, solltest du folgende Formel verwenden:

    \(\alpha = \frac{b\,\cdot\, 360°}{u}\)

    Ein Kreis, bei dem ein Mittelpunktswinkel und eine Bogenlinie eingezeichnet sind.
  • Was bedeutet die Bogenlinie am Einheitskreis?

    Die Bogenlinie und der Mittelpunktswinkel hängen direkt miteinander zusammen. Ist ein Radius gegeben, kann man immer von der Bogenlinie auf den Mittelpunktswinkel schließen und auch andersherum. Beim Bogenmaß wird dieser Zusammenhang benutzt, um die Größe eines Winkels zu beschreiben. Dabei wird die Länge der Bogenlinie des Kreissektors mit dem entsprechendem Mittelpunktswinkel in einem Einheitskreis angegeben. Ein Einheitskreis hat immer den Radius \(r=1\) und seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems.

    So kann die Größe eines Winkels in einer Längenangabe erfasst werden.

  • Wie berechnet man den Mittelpunktswinkel bei einem Kegel?

    Um den Mittelpunktswinkel eines Kreiskegels zu berechnen, kannst du dir vorstellen, dass du die Mantelfläche des Kegels abrollst, sodass sich ein Kreissektor daraus ergibt. Um den Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors zu berechnen, solltest du folgende Schritte abarbeiten: 

    Körper eines Kegels gekennzeichnet mit unterschiedlichen Farben
    1. Du benötigst du die Höhe \(h\) des Kegels und den Radius \(r\) der Grundfläche des Kegels.
    2. Als Nächstes musst du die Mantellinie \(s\) berechnen. Da die Mantellinie mit dem Radius \(r\) und der Höhe des Kegels \(h\) ein rechtwinkliges Dreieck bildet, kannst du sie mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
      \(s^2=r^2+h^2\)
    3. Da die Mantelfläche des Kegels einem Kreissektor entspricht, kannst du die Formel zur Berechnung des Mittelpunktswinkels eines Kreissektors nutzen. Diese Formel muss aber noch ein bisschen verändert werden. Den Umfang \(u\) solltest du zur Herleitung der Formel für den Mittelpunktswinkel eines Kegels durch die Formel für den Umfang eines Kreises (\(u=2\pi r\)ersetzen. Daraus ergibt sich folgende Formel:
      \(\alpha=\frac{b\cdot360°}{2\pi r}\)
    4. Die Mantelfläche des Kegels hat einen Radius \(r\), der der Mantellinie \(s\) des Kegels entspricht. Deshalb kannst du die beiden Größen durcheinander ersetzen:
      \(\alpha=\frac{b\cdot360°}{2\pi s}\)
    5. Die Mantelfläche des Kegels hat eine Bogenlinie, die dem Umfang des Kreises der Grundfläche des Kegels entspricht. Deshalb kannst du diese beiden Größen in der Formel durcheinander ersetzen.
      \(\alpha=\frac{2\pi r\cdot360°}{2\pi s}\)
    6. Nun kannst du die \(2\pi\) im Nenner und im Zähler kürzen: 
      \(\alpha=\frac{r\cdot360°}{s}\)
    7. Zum Schluss musst du nur noch den Radius und die Seitenlinie des Kegels in die Formel einsetzen und das Endergebnis berechnen. Denke dabei daran, die Einheiten immer mitzuschreiben.