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Radius und Kreiszahl

8. ‐ 9. Klasse Dauer: 50 Minuten

Was ist der Radius und die Kreiszahl Pi?

Ein Kreis ist eine geometrische Figur, bei der alle zugehörigen Punkte in einer Ebene liegen und den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Der Abstand der Punkte zum Mittelpunkt wird Radius genannt. Um mithilfe des Radius den Umfang eines Kreises zu berechnen, benötigst du Pi. Die Kreiszahl Pi ist eine mathematische Naturkonstante. Sie entspricht ungefähr dem Wert \(3{,}14\) – jedoch ist sie unendlich lang, also eine irrationale Zahl. Pi gibt das Verhältnis zwischen dem Umfang \(u\) eines Kreises und seinem Durchmesser \(d\) an: 

\(u=d\cdot\pi\)

Um noch etwas zu diesem Thema zu üben, kannst du die interaktiven Übungen nutzen. Wenn du dein Wissen in diesem Bereich auf die Probe stellen möchtest, kannst du die Klassenarbeiten zum Kreis bearbeiten.

Die Kreiszahl Pi

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Kreiszahl Pi

Kreiszahl Pi

Kreiszahl Pi

Wie du den Radius eines Kreises berechnest

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Radius berechnen

Radius berechnen

Radius berechnen

Formeln für Berechnungen am Kreis

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Berechnungen am Kreis

Berechnungen am Kreis

Berechnungen am Kreis

Schlussrunde: Radius und Kreiszahl

Schlussrunde: Radius und Kreiszahl

Schlussrunde: Radius und Kreiszahl

Was du wissen musst

  • Welche Formeln sind beim Kreis wichtig?

    Der Durchmesser \(d\) eines Kreises entspricht dem doppelten Radius \(r\). Er verläuft von einem Punkt auf der Kreislinie zum exakt gegenüberliegenden Punkt auf der Kreislinie. Dabei verläuft er durch den Mittelpunkt des Kreises. Der Radius hingegen ist halb so lang, da er von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie bis zum Mittelpunkt des Kreises verläuft.

    Ein Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

    Den Durchmesser kannst du mit folgender Formel berechnen: 

    \(d=2\cdot r\)

    Natürlich kannst du die Formel nach \(r\) umstellen und somit den Radius aus dem Durchmesser berechnen:

    \(r=\frac{d}{2}\)

    Auch der Umfang \(u\) eines Kreises ist von diesen Größen abhängig. Er kann durch die zwei folgenden Formeln berechnet werden:

    \(u=2\pi r\)

    \(u=2d\)

    Die Kreisfläche \(A\) eines Kreises ist die Fläche, die von der Kreislinie begrenzt wird. Sie ist vom Radius \(r\) beziehungsweise vom Durchmesser \(d\) abhängig.

    Um die Fläche eines bestimmten Kreisausschnitts eines Kreises zu berechnen, muss der Radius \(r\) bekannt sein. Außerdem muss entweder der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) oder der Kreisbogen \(b\) gegeben sein. 

    Der Kreisbogen \(b\) lässt sich berechnen, wenn der Radius \(r\) des Kreises und der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) oder die Fläche des Kreisausschnitts \(A\) gegeben sind.

  • Wie berechnet man den Radius eines Kreises?

    Den Radius eines Kreises kannst du mithilfe verschiedener Formeln berechnen. Achte darauf, welche Werte dir gegeben sind, um die richtige Formel zu wählen. Außerdem musst du die Formeln korrekt umstellen.

    Häufig ist der Radius in einer Aufgabe gegeben. Es kann dir aber auch passieren, dass du den Radius selbst berechnen musst. Das ist aber kein Problem, da der Radius in jeder Formel, die mit dem Kreis zusammenhängt, vorkommt.

    Wenn dir beispielsweise der Durchmesser \(d\) eines Kreises gegeben ist, kannst du den Radius \(r\) einfach berechnen, denn der Durchmesser ist der doppelte Radius:

    \(\begin{align*} 2\cdot r&=d&&\mid :2\\ r&=\frac{d}{2} \end{align*}\)

    Es kann auch sein, dass dir die Kreisfläche, der Umfang oder ein Kreisausschnitt gegeben ist. Dann kannst du den Radius \(r\) durch Umstellen der Formeln berechnen. Dafür musst du natürlich fit im Umstellen von Formeln sein.

  • Wie viele Stellen hat Pi?

    Die Kreiszahl Pi hat unendlich viele Stellen. Es ist nicht möglich, Pi durch eine ganze Zahl, einen Wurzelausdruck, einen Bruch oder Ähnliches darzustellen. Die Zahl Pi ist also transzendent, das bedeutet, dass es kein Polynom gibt, mit dem du die Zahl ausdrücken kannst. 

    Daher wird Pi mit dem griechischen Buchstaben \(\pi\) ausgedrückt. Dieses Symbol findest du auch auf deinem Taschenrechner, welcher die Zahl Pi bis zu einer bestimmten Nachkommastelle (je nach Modell) gespeichert hat. Wenn dir kein Taschenrechner zur Verfügung steht, kannst du mit den Werten \(\frac{22}{7}\) oder \(\frac{355}{113}\) rechnen. Für schriftliche Rechnungen reicht oftmals auch einfach der Wert \(3,14\) – je nachdem, wie genau es sein muss.

    Pi die unendliche Kreiszahl

     

  • Wie kann man die Kreiszahl Pi herleiten?

    Bereits die antiken Ägypter und Babylonier haben sich mit der Kreiszahl Pi beschäftigt, da Kreise auch damals schon einen hohen Nutzen im Alltag hatten und in der Natur beobachtet werden konnten. Sie haben diesen Wert geschätzt und verwendeten den Wert \(3\) oder \(3+\frac{1}{8}\). Auch die alten Griechen haben sich mit dem Phänomen der Kreiszahl beschäftigt. Insbesondere chinesische und persische Gelehrte haben Fortschritte bei der Näherung an Pi gemacht. Später in der Moderne haben Mathematiker Formeln gefunden, mit denen sich die Kreiszahl Pi beliebig genau bestimmen lässt. 

    Die Zahl Pi lässt sich bestimmen, indem man den Umfang eines Kreises durch den Durchmesser teilt. Das bedeutet, man könnte den Umfang und den Radius eines Kreises messen und daraus Pi berechnen. 

    Wenn man zum Beispiel den Radius \(r=6\,\text{cm}\) misst und den Umfang \(u=37{,}7\,\text{cm}\), kann man diese Werte in die umgestellte Formel zur Berechnung des Umfangs einsetzen: 

    \(\begin{align*} u&=2\pi r&&\mid:2r\\ \frac{u}{2r}&=\pi\\[6pt] \frac{37{,}7\,\text{cm}}{2\cdot6\,\text{cm}}&=\pi\\[6pt] 3{,}141&=\pi \end{align*}\)

    Auf diese Weise ist es möglich, eine Näherung an Pi zu berechnen. Diese Rechnung kann man beliebig oft fortsetzen. Es gibt auch andere Herleitungen der Kreiszahl Pi und auch Rechenprogramme, welche die Zahl Pi bis zu einer beliebigen Nachkommastelle ausrechnen können, wenn man ihnen die nötige Zeit gibt. Im Alltag und auch in der Schule ist die nötige Zeit dazu aber nicht vorhanden und so viele Stellen werden im Normalfall auch nicht benötigt. Den genauen Wert kann man sowieso nicht beschreiben, da Pi irrational und transzendent ist. Deshalb solltest du in deinen Rechnungen immer bis zum Schluss mit dem griechischen Buchstaben \(\pi\) arbeiten. Erst ganz am Ende solltest du mit einem gerundeten Wert rechnen. Wähle die Anzahl der Nachkommastellen hier je nach passender Genauigkeit.