Stetigkeit

Eine Funktion f ist an einer Stelle \(x_0 \in D_f\) genau dann stetig, wenn f an dieser Stelle definiert ist und ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert:

\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

Anschaulich gesprochen heißt das, dass die Funktionswerte in unmittelbarer Nähe von x₀ beliebig dicht an f(x₀) „heranrürcken.“

Beispiel:
\(f : x \mapsto f (x) = 2 x^3 \ \ ( x \in \mathbb{R})\) ist an der Stelle x₀ = 1 stetig, denn f(1) = 2 ·1³ = 2 ist wohldefiniert und es gilt \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} 2x^3 = 2 = f(1)\).

▶ Anmerkung   Für die Randwerte a und b eines Intervalls [a; b] wird die einseitige Stetigkeit mittels einseitiger Grenzwerte definiert.

Weiterhin gelten die folgenden Aussagen:

• Stetigkeit der Grundfunktionen: Alle ganzrationalen Funktionen, Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, Exponentialfunktionen und die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sind auf ganz \(\mathbb R\) stetig. Andere Grundfunktionen wie die gebrochenrationalen Funktionen, Wurzel- und Logarithmusfunktionen sowie der Tangens sind auf ihrem jeweiligen (maximalen) Definitionsbereich stetig.

• Beschränktheit: Eine in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetige Funktion ist dort auch beschränkt.

• Stetige Fortsetzung: Wenn eine Funktion f in einer Umgebung von x₀ definiert ist, aber nicht an x₀ selbst, kann man sie stetig fortsetzen, wenn eine stetige Funktion g existiert, die in ganz D_f mit f übereinstimmt und dazu auch für x₀ definiert ist. x₀ nennt man dann eine „stetig hebbare Definitionslücke“ von f.

• Intervallstetigkeit und globale Stetigkeit: Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn sie an allen Punkten des Intervalls stetig ist, und global stetig, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich stetig ist.

• Differenzierbarkeit: Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar. (Gegenbeispiel: Die stetige Betragsfunktion f(x) =|x| hat im Ursprung einen „Knick“, ist dort also nicht differenzierbar.

• Summe, Differenz, Produkt und Quotient von stetigen Funktionen sind wieder stetig (sofern überhaupt definiert).