Kreisumfang und Kreisfläche

Was du wissen musst

• Wozu benötigt man den Kreisumfang und die Kreisfläche?

  Welches der beiden Objekte ist größer?

  Vielleicht hast du es erkannt: Der grüne Kreis ist größer als das blaue Quadrat. Aber wäre es dir auch klar gewesen, wenn der Unterschied zwischen den beiden Objekten kleiner gewesen wäre oder sie weiter auseinander gelegen hätten?

  Deshalb kann man sich nicht immer auf sein Auge und sein Bauchgefühl verlassen, sondern muss manchmal die Größe eines Kreises ausrechnen. Dazu benutzt man den Kreisumfang und die Kreisfläche.

  

  Sowohl den Flächeninhalt als auch den Umfang eines Kreises wirst du im Matheunterricht noch häufig brauchen.
  Zum einen in Anwendungsaufgaben für deine Klassenstufe, z. B.:

  • Wie viel Meter Zaun müssen für ein rundes Gehege gekauft werden?
  • Wie oft lässt sich ein Band Klopapier um die Rolle herumwickeln?
  • Wie viel Rasensamen und -dünger werden für ein Beet benötigt?

  Zum anderen in schwereren Aufgaben für höhere Klassenstufen, z. B.:

  • Wie groß ist die Oberfläche des kegelförmigen Daches (Mantelfläche eines Kegels)?
  • Berechne den Kreisring und Kreisausschnitt.

• Was ist der Kreisumfang?

  Der Kreisumfang bezeichnet die Länge des Randes des Kreises. Stell dir vor, du wickelst eine Schnur genau einmal um ein Rad herum, sodass sie an keiner Stelle doppelt liegt. Nimmst du sie nun wieder ab und misst die Länge, erhältst du den Kreisumfang. Er ist eine Längeneinheit und wird meist in den Einheiten $\text{mm}$, $\text{cm}$ oder $\text{m}$ angegeben.

   

• Was ist die Kreisfläche?

  Die Kreisfläche beschreibt, wie groß die Fläche ist, die vom Kreis eingeschlossen wird (in dem Beispiel also die farbige Fläche). Sie wird in Flächeneinheiten (meist $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$) angegeben.

• Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?

  Der Kreisumfang $u$ bezeichnet die Länge des Randes des Kreises. Die Formel der Kreisfläche lautet:

  $u = \pi \cdot 2 \cdot r$ bzw. $u = \pi \cdot d$

  Als Kreiszahlahl $\pi$ kannst du zum Rechnen $\pi \approx 3{,}14$ benutzen. $r$ bezeichnet den Radius und $d$ den Durchmesser des Kreises. Wenn du die Formeln vergleichst, kannst du sehen, dass $2\cdot r = d$ ist.

  Der Kreisumfang ist quasi der Rand des Kreises. In dem Beispiel ist es also die grüne Linie. Genau wie bei Punkten, Geraden oder Strecken ist diese Linie eigentlich unendlich dünn.

  Um den Umfang des Beispielkreises zu berechnen, wird die Formel genommen, in der der Radius verwendet wird, da dieser in der Grafik angegeben ist.

  $u = \pi \cdot 2 \cdot r \approx 3{,}14 \cdot 2 \cdot 2 \; \text{cm} = 12{,}56 \; \text{cm}$

  

   

• Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreises?

  Die Kreisfläche $A_\circ$ ist die Fläche, die vom Kreis eingeschlossen wird (im Beispiel also die hellblaue Fläche). Um den Flächeninhalt des Kreises zu berechnen, nutzt du die Formel:

  $A_\circ = \pi \cdot r^2$ bzw. $A_\circ = \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot d^2$

  Dabei ist $\pi \approx 3{,}14$, $r$ der Radius und $d$ der Durchmesser des Kreises. Aus den Formeln kannst du ableiten, dass $r^2 = \frac{1}{4}\cdot d^2$. Das kommt daher, dass der Radius der Hälfte des Durchmessers entspricht, also $r = \frac{d}{2}$. Wenn man dies quadriert, ergibt sich die obere Gleichung.

  Die Kreisfläche ist die Fläche, die vom Umfang (also der grünen Linie) eingeschlossen wird. Sie wird ähnlich berechnet.
  Bei einem Kreis musst du, wie beim Rechteck, eine Länge mit sich selbst malnehmen. Aber dann musst du sie noch mit $\pi$ multiplizieren und, falls du den Durchmesser verwendest, durch 4 dividieren.

  Der Kreisinhalt ist eine Flächeneinheit und wird meist in den Einheiten $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$ angegeben.

  Zur Berechnung des Kreisinhalts kannst du entweder den Durchmesser oder den Radius verwenden.

  

   

  Berechnung mit dem Durchmesser

  Dabei musst du einfach die gegebenen Größen in die Formel einsetzen.

   

  $A_\circ = \pi \cdot \frac{1}{4}\cdot d^2 \approx \frac{3{,}14}{4}\cdot \left(3\;\text{cm} \right) ^2$
  $A_\circ \approx0{,}785 \cdot 9 \;\text{cm}^2 = 7{,}065 \;\text{cm}^2$

  Berechnung mit dem Radius

  Bei diesem Weg musst du zuerst den Radius berechnen und dann mit ihm die Kreisfläche berechnen.

  $r = \frac{d}{2} = \frac{3 \;\text{cm}}{2} = 1{,}5 \;\text{cm}$

  $A_\circ = \pi \cdot r^2 \approx 3{,}14 \cdot \left(1{,}5\;\text{cm} \right) ^2$
  $A_\circ\approx 3{,}14 \cdot 2,25 \;\text{cm}^2 = 7{,}065 \;\text{cm}^2$

  Selbstverständlich kommst du auf beiden Rechenwegen zum gleichen Ergebnis.