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8. ‐ 9. Klasse

Kreisumfang und Kreisfläche

Dauer: 55 Minuten

Was sind Kreisumfang und Kreisfläche in Mathe?

Den Kreisumfang und die Kreisfläche benutzt man, um die Größe von Kreisen anzugeben oder sie miteinander und mit anderen Objekten zu vergleichen. Beide Größen kann man aus der jeweils anderen Größe oder einem angegebenen Radius r oder einem Durchmesser d berechnen.

All dies kannst du in unseren interaktiven Übungen gut lernen. Und am Ende der Einheit kannst du deine Fähigkeiten prima und ohne Stress in unserer Klassenarbeit testen.

Die Beschriftung des Kreises und die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs

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Kreis

Kreis (einfach)
Aufgabe:
Alle Punkte auf einer Kreislinie haben denselben Abstand zum Mittelpunkt.

Bewerte diese Aussage.
Kreis (mittel)
Aufgabe:
Kennt man die Länge der Kreislinie, so kennt man den Umfang des Kreises.
 
Bewerte diese Aussage.
Kreis (schwer)
Aufgabe:
Meike behauptet, dass der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius.

Beurteile, ob Meikes Aussage „wahr“ oder „falsch“ ist.

Wie du den Umfang eines Kreises berechnest

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Kreisumfang berechnen

Kreisumfang berechnen (einfach)
Aufgabe:
Vervollständige den Satz.
Der Umfang eines Kreises besitzt das Formelzeichen .
Kreisumfang berechnen (mittel)
Aufgabe:
Gegeben ist ein Kreis mit einem Durchmesser von d=4cm. Wähle die Rechnung aus, mit der sich der Umfang korrekt bestimmen lässt.
Kreisumfang berechnen (schwer)
Aufgabe:
Neben der Formel U=πd gibt es noch eine weitere Formel, die gebräuchlich ist. Wähle die richtige Formel aus.

Wie du den Flächeninhalt eines Kreises berechnest

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Kreisfläche berechnen

Kreisfläche berechnen (einfach)
Aufgabe:
In der Formel zur Berechnung der Kreisfläche verwendet man den Buchstaben A für den Flächeninhalt.

Bewerte diese Aussage.
Kreisfläche berechnen (mittel)
Aufgabe:
Wähle den Flächeninhalt für einen Kreis mit dem Radius r=2cm aus.
Kreisfläche berechnen (schwer)
Aufgabe:
Paulina behauptet, dass ein Kreis mit dem Flächeninhalt von 78,55m2 einen Radius von 500cm besitzt. Beurteile Paulinas Behauptung.

Kreisumfang und Kreisfläche

Kreisumfang und Kreisfläche (einfach)
Aufgabe:
Ordne die Variablen der richtigen Bedeutung zu.
Greifbares Element 1 von 8.
r
Greifbares Element 2 von 8.
d
Greifbares Element 3 von 8.
A
Greifbares Element 4 von 8.
U
Greifbares Element 5 von 8.
π
Greifbares Element 6 von 8.
B
Greifbares Element 7 von 8.
s
Greifbares Element 8 von 8.
γ
Ablagezone 1 von 5.
Durchmesser
Ablagezone 2 von 5.
Radius
Ablagezone 3 von 5.
Fläche
Ablagezone 4 von 5.
Umfang
Ablagezone 5 von 5.
Kreiszahl
Kreisumfang und Kreisfläche (mittel)
Aufgabe:
Wähle den passenden Umfang und Flächeninhalt für einen Kreis mit dem Radius r=100cm aus.
Kreisumfang und Kreisfläche (schwer)
Aufgabe:
Ein Brunnen hat den Durchmesser d=1,10m und soll mit einem Holzdeckel versehen werden. Wähle den Umfang und die Fläche des Holzdeckels aus.

Was du wissen musst

  • Welches der beiden Objekte ist größer?

    Vielleicht hast du es erkannt: Der grüne Kreis ist größer als das blaue Quadrat. Aber wäre es dir auch klar gewesen, wenn der Unterschied zwischen den beiden Objekten kleiner gewesen wäre oder sie weiter auseinander gelegen hätten?

    Deshalb kann man sich nicht immer auf sein Auge und sein Bauchgefühl verlassen, sondern muss manchmal die Größe eines Kreises ausrechnen. Dazu benutzt man den Kreisumfang und die Kreisfläche.

    Ein grüner Kreis neben einem blauen Quadrat. Der Kreis hat einen Radius von 2 cm und das Quadrat eine Kantenlänge von 3 cm.

    Sowohl den Flächeninhalt als auch den Umfang eines Kreises wirst du im Matheunterricht noch häufig brauchen.
    Zum einen in Anwendungsaufgaben für deine Klassenstufe, z. B.:

    • Wie viel Meter Zaun müssen für ein rundes Gehege gekauft werden?
    • Wie oft lässt sich ein Band Klopapier um die Rolle herumwickeln?
    • Wie viel Rasensamen und -dünger werden für ein Beet benötigt?

    Zum anderen in schwereren Aufgaben für höhere Klassenstufen, z. B.:

  • Der Kreisumfang bezeichnet die Länge des Randes des Kreises. Stell dir vor, du wickelst eine Schnur genau einmal um ein Rad herum, sodass sie an keiner Stelle doppelt liegt. Nimmst du sie nun wieder ab und misst die Länge, erhältst du den Kreisumfang. Er ist eine Längeneinheit und wird meist in den Einheiten mmcm oder m angegeben.

     

  • Die Kreisfläche beschreibt, wie groß die Fläche ist, die vom Kreis eingeschlossen wird (in dem Beispiel also die farbige Fläche). Sie wird in Flächeneinheiten (meist mm2cm2 oder m2) angegeben.

  • Der Kreisumfang u bezeichnet die Länge des Randes des Kreises. Die Formel der Kreisfläche lautet:

    u=π2r bzw. u=πd

    Als Kreiszahlahl π kannst du zum Rechnen π3,14 benutzen. r bezeichnet den Radius und d den Durchmesser des Kreises. Wenn du die Formeln vergleichst, kannst du sehen, dass 2r=d ist.

    Der Kreisumfang ist quasi der Rand des Kreises. In dem Beispiel ist es also die grüne Linie. Genau wie bei Punkten, Geraden oder Strecken ist diese Linie eigentlich unendlich dünn.

    Um den Umfang des Beispielkreises zu berechnen, wird die Formel genommen, in der der Radius verwendet wird, da dieser in der Grafik angegeben ist.

    u=π2r3,1422cm=12,56cm

    Ein grüner Kreis. Der Radius beträgt 2 cm.

     

  • Die Kreisfläche A ist die Fläche, die vom Kreis eingeschlossen wird (im Beispiel also die hellblaue Fläche). Um den Flächeninhalt des Kreises zu berechnen, nutzt du die Formel:

    A=πr2 bzw. A=π14d2

    Dabei ist π3,14, r der Radius und d der Durchmesser des Kreises. Aus den Formeln kannst du ableiten, dass r2=14d2. Das kommt daher, dass der Radius der Hälfte des Durchmessers entspricht, also r=d2. Wenn man dies quadriert, ergibt sich die obere Gleichung.

    Die Kreisfläche ist die Fläche, die vom Umfang (also der grünen Linie) eingeschlossen wird. Sie wird ähnlich berechnet.
    Bei einem Kreis musst du, wie beim Rechteck, eine Länge mit sich selbst malnehmen. Aber dann musst du sie noch mit π multiplizieren und, falls du den Durchmesser verwendest, durch 4 dividieren.

    Der Kreisinhalt ist eine Flächeneinheit und wird meist in den Einheiten mm2cm2 oder m2 angegeben.

    Zur Berechnung des Kreisinhalts kannst du entweder den Durchmesser oder den Radius verwenden.

    Ein blau ausgefüllter Kreis, dessen Rand grün ist. Der Durchmesser beträg 3 cm.

     

    Berechnung mit dem Durchmesser

    Dabei musst du einfach die gegebenen Größen in die Formel einsetzen.

     

    A=π14d23,144(3cm)2
    A0,7859cm2=7,065cm2

    Berechnung mit dem Radius

    Bei diesem Weg musst du zuerst den Radius berechnen und dann mit ihm die Kreisfläche berechnen.

    r=d2=3cm2=1,5cm

    A=πr23,14(1,5cm)2
    A3,142,25cm2=7,065cm2

    Selbstverständlich kommst du auf beiden Rechenwegen zum gleichen Ergebnis.