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Kegel

9. ‐ 10. Klasse Dauer: 70 Minuten

Was ist ein Kegel?

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche und einer Spitze, die außerhalb der Grundfläche liegt. Die Randpunkte der Grundfläche sind mit der Spitze verbunden und bilden auf diese Weise die Mantelfläche des Kegels. Diese Beschreibung klingt vielleicht kompliziert, aber du wirst merken, dass es gar nicht so schwierig ist, mit Kegeln zu rechnen.

Wenn du noch etwas zu diesem Thema üben möchtest, kannst du die interaktiven Übungen nutzen. Außerdem hast du die Möglichkeit, dein Wissen in der Klassenarbeit zu prüfen.

Der Kegel und die Formeln zur Berechnung von Mantel-, Oberfläche und Volumen

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Mantel-, Oberfläche und Volumen bei Kegeln berechnen

Mantel-, Oberfläche und Volumen bei Kegeln berechnen

Mantel-, Oberfläche und Volumen bei Kegeln berechnen

Wie du das Volumen von Kegeln berechnest

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Volumen von Kegeln berechnen

Volumen von Kegeln berechnen

Volumen von Kegeln berechnen

Wie du die Mantelfläche von Kegeln berechnest

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Mantelfläche von Kegeln berechnen

Mantelfläche von Kegeln berechnen

Mantelfläche von Kegeln berechnen

Wie du die Oberfläche von Kegeln berechnest

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Oberfläche von Kegeln berechnen

Oberfläche von Kegeln berechnen

Oberfläche von Kegeln berechnen

Schlussrunde: Kegel

Schlussrunde: Kegel

Schlussrunde: Kegel

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften hat ein Kegel?

    Ein Kegel hat eine Grundfläche, die kreisförmig ist, weshalb er einen bestimmten Radius \(\text{r}\) hat. Die Spitze eines Kegels muss außerhalb der Grundfläche liegen und wird durch die Höhe \(\text{h}\) auf kürzestem Weg mit der Ebene, in der die Grundfläche liegt, verbunden. Das bedeutet, dass die Spitze nicht unbedingt direkt über dem Kreismittelpunkt liegen muss, was manchmal sehr ungewöhnlich aussehen kann, aber korrekt ist. Die Verbindung zwischen dem Umfang der Grundfläche und der Spitze nennt man Mantelfläche. Eine Strecke, die die Spitze mit einem Punkt auf dem Rand der Grundfläche verbindet, wird mit \(\text{s}\) bezeichnet. 

    Ein Kegel mit eingezeichneter Höhe und Radius

    Um den Oberflächeninhalt \(\text{A}\) eines Kegels zu berechnen, teilt man die Kegeloberfläche in die Grundfläche \(A_G\) und die Mantelfläche \(A_M\) auf.

    \(A=A_G+A_M\)

    Da es sich bei der Grundfläche um einen Kreis handelt, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden. Die Oberfläche des Mantels berechnest du mit einer anderen Formel.

    • \(A_M=rs\pi\)
    • \(A_G=\pi r^2\)

    Daraus ergibt sich für die Berechnung des gesamten Flächeninhaltes eines Kegels folgende Formel:

    \(A=\pi r(r+s)\)

    Die Volumenberechnung eines Kegels ist der Volumenberechnung einer Pyramide sehr ähnlich, mit dem Unterschied, dass die Grundfläche ein Kreis anstatt eines Rechteckes ist. Daher ergibt sich für die Berechnung des Volumens eines Kegels folgende Formel:

    \(V=\frac{1}{3}(r^2\pi)h\)

  • Welche Arten von Kegeln gibt es?

    Es gibt gerade Kegel, bei denen die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche steht, und schiefe Kegel, bei denen die Spitze in eine Richtung verschoben ist. Den schiefen Kegeln wirst du in der Schule eher selten begegnen, da ihre Berechnung komplizierter ist als bei geraden Kegeln. 

    Beachte, dass eine Pyramide kein Kegel ist. Bei einem Kegel muss die Grundfläche ein Kreis sein, was bei einer Pyramide nicht der Fall ist. 

    Ein gerader Kegel im vergleich zu einem schiefen Kegel

     

  • Wie leitet man die Formeln für die Mantelfläche eines Kegels her?

     

    Um die Formel für die Mantelfläche eines Kegels herzuleiten, kannst du dir vorstellen, dass du die Mantelfläche eines Kegels abrollst, sodass ein Kreissektor entsteht. Du kennst bereits die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises:

    \(\begin{align}A=r^2\pi\end{align}\)

    In dem Kreissektor, der dich interessiert, ist der Radius genau die Länge \(s\).

    Körper eines Kegels gekennzeichnet mit unterschiedlichen Farben

    Du möchtest aber keine Kreisfläche, sondern nur die Fläche eines Kreissektors berechnen. Dieser hat einen ganz bestimmten Mittelpunktswinkel \(\alpha\). Dafür musst du die allgemeine Formel des Kreises mit diesem Winkel multiplizieren und durch \(360^\circ\) dividieren.

    \(\begin{align}A=\frac{s^2\pi\alpha}{360^°}\end{align}\)

  • Wozu braucht man Kegel?

    Im Alltag begegnen dir Kegel an vielen Stellen. Du kannst sie häufig in der Architektur beobachten, zum Beispiel als Turmspitzen. Oder wenn du das nächste Mal ein Eis isst, kannst du die Waffel genauer betrachten und wirst feststellen, dass es sich auch dabei um einen Kegel handelt. 

    In der Mathematik begegnen dir Kegel an vielen Stellen, zum Beispiel bei der Berechnung an einem Kegelstumpf. Kegel eignen sich auch besonders gut als Rotationskörper, weshalb sie dir bei diesen Aufgaben auch wieder begegnen werden.