Punktsymmetrie

Was du wissen musst

• Was bedeutet punktsymmetrisch?

  Eine Figur ist dann punktsymmetrisch, wenn sie an einem Spiegelpunkt gespiegelt wird und auf sich selbst abgebildet wird. Wann eine Figur punktsymmetrisch ist, kannst du erkennen, indem du dir vorstellst, dass du die Figur um \(180^°\) drehst. Liegt die Figur dann wieder genau auf der Ausgangsfigur, ist sie punktsymmetrisch. Eine Punktsymmetrie ist also ein Sonderfall der Drehsymmetrie. 

  Um die Punktsymmetrie nachzuweisen, musst du häufig den Symmetriepunkt finden und angeben. Der Symmetriepunkt ist der Punkt, um den du die Figur gedanklich drehst.

  Es gibt einen Unterschied zwischen der Punktsymmetrie und der Achsensymmetrie. Bei der Punktsymmetrie wird an einem Punkt gespiegelt und bei der Achsensymmetrie wird an einer Geraden bzw. an einer Achse gespiegelt.

• Was ist eine Punktspiegelung?

  Eine Punktspiegelung ist die Spiegelung einer Figur an einem bestimmten Punkt. Diesen Punkt nennt man den Symmetriepunkt, den Spiegelpunkt oder das Symmetriezentrum. Die Punkte, die bei der Spiegelung entstehen, heißen Bildpunkte. Du gibst ihnen die gleichen Bezeichnungen wie den Punkten deiner Ausgangsfigur, ergänzt sie aber durch einen hochgestellten Strich. Der Bildpunkt von Punkt \(A\) heißt also \(A'\).

  Um eine Punktspiegelung durchzuführen, müssen eine Figur und ein Symmetriepunkt vorliegen. Eine Punktspiegelung kannst du entweder mithilfe deines Geodreiecks oder mit Zirkel und Lineal durchführen.

  Punktspiegelung mit dem Geodreieck

  Verwendest du ein Geodreieck, kannst du es mit seinem Nullpunkt direkt an das Symmetriezentrum anlegen. Von dort aus kannst du den Abstand zum Punkt, den du spiegeln möchtest, bequem ablesen und auf der anderen Seite den Bildpunkt einzeichnen. Das wiederholst du für alle wichtigen Punkte deiner Figur. Die neuen Punkte musst du anschließend noch wie im Original verbinden. Denk daran, die Bildpunkte zu beschriften.

  Punktspiegelung mit Zirkel und Lineal

  Hast du kein Geodreieck zur Verfügung, kannst du zeichnen, wie die alten Griechen. Du ziehst eine Hilfsgerade durch das Symmetriezentrum und den Punkt, den du spiegeln möchtest. Dann setzt du deinen Zirkel im Symmetriepunkt an und spannst den Abstand zwischen Symmetriepunkt und Ausgangspunkt ein. Anschließend schlägst du einen Kreisbogen und erhältst dann deinen Bildpunkt als Schnittpunkt zwischen Kreisbogen und Hilfsgerade. Wenn du alle wichtigen Punkte deiner Figur gespiegelt hast, verbindest du sie miteinander wie im Original. Achte auf die Beschriftung deiner Bildpunkte.

• Welche Beispiele für punktsymmetrische Figuren gibt es?

  Ein Kreis ist eine punktsymmetrische Figur. Das Zentrum liegt hier im Kreismittelpunkt. Auch ein Parallelogramm ist eine punktsymmetrische Figur. Das Zentrum ist hier der Punkt, an dem sich die Diagonalen des Parallelogramms schneiden. Das Gleiche gilt für Quadrat, Rechteck und Raute.

• Welche Rolle spielt Punktsymmetrie bei Funktionen?

  Die Punktsymmetrie kann auf alle geometrischen Objekte angewandt werden – auch auf Funktionsgraphen. Ein Funktionsgraph ist dann punktsymmetrisch, wenn du alle Punkte, die auf der Funktion liegen, an einem Symmetriepunkt spiegeln kannst und die Bildpunkte wieder auf der Funktion liegen. Häufig wird an dem Koordinatenursprung gespiegelt.

  Um zu prüfen, ob eine Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist oder nicht, bildest du die Funktionen \(-f(x)\) und \(f(-x)\). Diese beiden Funktionen setzt du gleich und prüfst, ob die Gleichung richtig ist. Eine Funktion ist also punktsymmetrisch, wenn gilt:

  \(-f(x)=f(-x)\)