Extremwertsatz

Der Extremwertsatz ist ein Satz über stetige Funktionen. Er besagt:

• Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig ist, dann hat sie dort auch ein Maximum und ein Minimum.

Wenn f dazu auch noch differenzierbar ist, gilt:

• Diese beiden Extrema liegen entweder an den Grenzen des Intervalls, also bei a oder b, oder sie sind Nullstellen der ersten Ableitung.

Anmerkung: In den beiden Sätzen ist die Abgeschlossenheit des Intervalls [a; b] unverzichtbar.
Beispiel:
 Die im offenen Intervall ]0; 3[ stetige Funktion $f\! : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ wächst für $x \rightarrow 0$ über alle Grenzen, ist also unbeschränkt. Daher besitzt die Funktion kein Maximum im Intervall. Da die Funktion andererseits streng monoton fällt, wäre das Minimum die rechte Intervallgrenze x = 3, die ist aber bei einem offenen Intervall nicht im Intervall enthalten.