Was du wissen musst
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Wann sind zwei Terme äquivalent zueinander?
Wenn du einen Term durch Umformung in einen anderen überführen kannst, dann sind diese beiden Terme äquivalent. Das bedeutet, dass man für die Variablen in den Termen einen beliebigen Wert einsetzen kann und dass dann bei beiden Termen das gleiche Ergebnis herauskommt.
Die folgenden beiden Terme sind beispielsweise äquivalent zueinander:
\(\begin{align} 15+\left(2\cdot\frac{3}{2}\right)\cdot x \quad\text{ und }\quad3(x+4+1) \end{align}\)
Diese beiden Terme sind nicht äquivalent zueinander:
\(\begin{align}15+\left(2\cdot\frac{3}{2}\right)\cdot x \quad \text{ und }\quad4(x+4+1) \end{align}\)
Auf den ersten Blick ist schwer zu erkennen, ob zwei Terme äquivalent zueinander sind oder nicht. Obwohl die oberen beiden Terme so unterschiedlich aussehen, sind sie äquivalent zueinander.
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Wie prüft man Äquivalenz von Termen oder Gleichungen?
Um zu prüfen, ob zwei Terme äquivalent zueinander sind, kannst du wie folgt vorgehen:
1. Vereinfache den ersten Term, so weit es geht. Achte dabei auf die Rechengesetze, also dass Klammern vor Potenzen gehen, Potenzen vor Punktrechnungen und Punkt- vor Strichrechnungen.
\(\begin{align} T_1&=15+\left(2\cdot\frac{3}{2}\right)\cdot x \\T_1&=15+3\cdot x \end{align}\)
2. Vereinfache den zweiten Term, so weit es geht. Beachte auch hier die Operatorrangfolge.
\(\begin{align} T_2&=3(x+4+1) \\T_2&=3x+12+3 \\T_2&=3x+15 \end{align}\)
3. Sortiere die beiden Terme in der gleichen Reihenfolge. Achte dabei auf die Vorzeichen.
\(\begin{align} T_1&=15+3\cdot x \\T_2&=15+3x \end{align}\)
4. Prüfe, ob die Terme gleich sind. Wenn ja, dann sind die beiden Terme äquivalent. Wenn nein, dann sind sie nicht äquivalent.
\(T_1= T_2\)
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Welche Objekte können äquivalent zueinander sein?
Sowohl Terme als auch Gleichungen können äquivalent zueinander sein. Zum Beispiel die folgenden zwei Gleichungen:
\(\begin{align} 4x+6&=12 \\x&=1{,}5 \end{align}\)
Durch Umformen der ersten Gleichung erhältst du die zweite Gleichung. Das zeigt, dass diese beiden Gleichungen äquivalent zueinander sind.
\(\begin{align} 4x+6&=12 &|&-6\\4x &= 6 &|&:4 \\x&=1{,}5 \end{align}\)
Aber auch andere geometrische Objekte oder Mengen können äquivalent zueinander sein. Zum Beispiel ist eine Drehung von \(90^\circ\) äquivalent zu einer Drehung um \(450^\circ\).