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Zusammengesetzte Körper

9. ‐ 10. Klasse Dauer: 45 Minuten

Was sind zusammengesetzte Körper?

Zusammengesetzte Körper bestehen immer aus mindestens zwei Teilkörpern. Um das Volumen von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, musst du die Volumina der Teilkörper addieren. Die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, ist etwas umständlicher. Im Gegensatz zum Volumen reicht es hier nicht aus, alle Oberflächen der Teilkörper zu addieren, da die Grenzflächen zwischen den Teilkörpern beachtet werden müssen.

Ein Beispiel für einen zusammengesetzten Körper ist ein stark vereinfachtes Haus. Betrachtest du es, erkennst du, dass es im unteren Bereich aus einem Quader besteht. Das Dach hingegen besteht aus einem Prisma mit dreiseitiger Grundfläche. 

Wenn du noch etwas zu diesem Thema üben möchtest, kannst du die interaktiven Übungen nutzen. Wenn du dich sicher fühlst und dich auf den Ernstfall in der Schule vorbereiten möchtest, kannst du die Klassenarbeiten zum Thema bearbeiten. 

Ein Haus, zusammengesetzt aus einem Quader und einem Prisma

 

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Rotationskörpern berechnest

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Wie du den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnest

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Den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnen

Den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnen

Den Oberflächeninhalt von zusammengesetzten Körpern berechnen

Wie du das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnest

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Das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen

Das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen

Das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen

Schlussrunde: Zusammengesetzte Körper

Schlussrunde: Zusammengesetzte Körper

Schlussrunde: Zusammengesetzte Körper

Was du wissen musst

  • Welche Arten von zusammengesetzen Körpern gibt es?

    Es gibt zahlreiche verschiedene Arten von zusammengesetzten Körpern. Es handelt sich immer um Körper, die beliebig aus anderen Teilkörpern zusammengesetzt sind. Bei den Teilkörpern kann es sich um folgende Körper handeln:

    • Quader
    • Prismen
    • Zylinder
    • Kugeln
    • Pyramiden
    • Kegel
    • Würfel

    Deshalb solltest du für diese Körper die Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens wissen. 

    Außerdem gibt es zusammengesetzte Rotationskörper. Rotationskörper sind Körper, die dadurch entstehen, dass eine Fläche um eine Rotationsachse rotiert (sich also dreht). Die dabei entstehenden Körper lassen sich häufig durch zusammengesetzte Teilkörper beschreiben. 

  • Wie löst man Aufgaben zu zusammengesetzen Körpern erfolgreich?

    Bei Aufgaben zu zusammengesetzten Körpern ist meistens die Oberfläche oder das Volumen gesucht. Um diese Aufgaben erfolgreich zu lösen, sind 3 Schritte erforderlich: 

    1. Die Teilkörper erkennen 

    Zu Beginn musst du dir genau überlegen, aus welchen Teilkörpern dein zusammengesetzter Körper besteht. Oft kann eine Skizze weiterhelfen.

    Ein Gebäude wird in seine unterschiedlichen Körper zerlegt

    2. Die Teilkörper berechnen

    Um die Teilkörper zu berechnen, musst du dir die richtigen Formeln für alle Teilkörper aufschreiben. Achte darauf, ob das Volumen oder die Oberfläche gesucht ist, und wähle dementsprechend die richtige Formel. 

    Dann setzt du die in der Aufgabe gegebenen Werte korrekt in die Formeln ein. Manchmal sind die Werte, die du zum Einsetzen benötigst, nicht direkt in der Aufgabenstellung gegeben. Dann musst du sie zuerst berechnen. Denk immer daran, die Einheiten mitzuschreiben. 

    Jetzt musst du das Volumen oder die Oberfläche der Teilkörper nur noch ausrechnen. 

    3. Den gesamten Körper berechnen

    Hier unterscheidet sich die Vorgehensweise, je nachdem ob die Oberfläche oder das Volumen gesucht ist:

    Volumen

    Um das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers zu berechnen, musst du die Volumina aller Teilkörper addieren. 

    Auch ausgehöhlte Körper sind zusammengesetzte Körper. In diesem Fall musst du den „herausgeschnittenen“ Teil vom Volumen abziehen, also das Volumen subtrahieren. Bei einem ausgehöhlten Körper ist das Volumen kleiner als das des Grundkörpers.

    Oberfläche

    Um die gesamte Oberfläche des zusammengesetzten Körpers zu berechnen, musst du alle Teilflächen des Körpers addieren. Hier musst du darauf achten, dass es Grenzflächen zwischen den Teilkörpern gibt, die du nicht dazuaddieren darfst. Das sind die Flächen, an denen sich die Teilkörper verbinden. 

    Bei ausgehöhlten Körpern entstehen neue Oberflächen innerhalb des Grundkörpers. Diese musst du zur Gesamtoberfläche addieren. Bei einem ausgehöhlten Körper ist die Oberfläche größer als beim Grundkörper. 

     

  • Worauf muss man bei zusammengesetzten Rotationskörpern achten?

    Üblicherweise wird in Aufgaben zu zusammengesetzten Rotationskörpern eine Figur in einem Koordinatensystem gegeben. Diese Figur rotiert dann meistens um eine der Achsen. In der Aufgabenstellung steht dann oft Abszissenachse (x-Achse) oder Ordinatenachse (y-Achse). Diese Ausdrücke musst du kennen, um die Aufgabe erfolgreich zu lösen. Durch die Rotation um die Achse entsteht ein Körper. Das ist der Körper, den du berechnen sollst. Um den Sachverhalt aus der Aufgabenstellung gut zu verstehen, ist es oft hilfreich, eine Skizze anzufertigen. 

    Um das Volumen oder die Oberfläche des zusammengesetzten Rotationskörpers zu berechnen, musst du erkennen, aus welchen Teilkörpern er zusammengesetzt ist. Häufig handelt es sich um Kegel oder Zylinder. Hast du das erkannt, musst du die Werte aufschreiben, die du zur Berechnung benötigst. Um die richtigen Werte herauszufinden, kannst du auf deine Skizze zurückgreifen. 

    Hast du alle nötigen Werte aufgeschrieben, dann kannst du wie bei allen anderen zusammengesetzten Körpern erst die Teilkörper berechnen und dann den gesamten Körper. 

    Ein Rotationskörper kann auch dadurch entstehen, dass eine Kurve in einem bestimmten Abschnitt um eine Achse rotiert. solche Aufgaben kann man mit der Integralrechnung lösen. Um das Volumen solcher Körper zu berechnen, setzt man für die Integrationsgrenzen den Intervall ein, der um die Achse rotieren soll. Man berechnet das Integral der Funktion, die um die Achse rotiert. Mit der Integralrechnung kann auch die Oberfläche eines solchen Rotationskörpers berechnet werden.