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Was ist eine Kugel?

Bei einer Kugel handelt es sich um einen geometrischen Körper, der drehsymmetrisch zu allen Achsen ist. Zur Kugelfläche gehören alle Punkte, die den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben, ähnlich wie bei einem Kreis. Würde man den Kreis im Raum um seinen Durchmesser drehen, wäre das die Kugelfläche.

Mit dem Begriff „Kugel“ ist oft nicht genau klar, was gemeint ist. Man unterscheidet zwischen der eben besprochenen Kugelfläche und dem Kugelkörper. Der Kugelkörper wird von der Kugelfläche begrenzt. Das bedeutet, der Kugelkörper enthält nicht nur die Punkte, die den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben, sondern auch die, deren Abstand kleiner ist.

Wenn du noch etwas zu diesem Thema üben möchtest, kannst du die interaktiven Übungen nutzen. Fühlst du dich sicher in diesem Themengebiet, kannst du abschließend die Klassenarbeit Körper (1) bearbeiten.

Kugel mit eingezeichnetem Radius und Durchmesser

Formeln für Berechnungen an der Kugel

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Berechnungen an der Kugel

Berechnungen an der Kugel

Berechnungen an der Kugel

Wie du den Oberflächeninhalt von Kugeln berechnest

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Den Oberflächeninhalt von Kugeln berechnen

Den Oberflächeninhalt von Kugeln berechnen

Den Oberflächeninhalt von Kugeln berechnen

Wie du das Volumen von Kugeln berechnest

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Das Volumen von Kugeln berechnen

Das Volumen von Kugeln berechnen

Das Volumen von Kugeln berechnen

Schlussrunde: Berechnungen an der Kugel

Schlussrunde: Berechnungen an der Kugel

Schlussrunde: Berechnungen an der Kugel

Was du wissen musst

  • Welche Eigenschaften von Kugeln sind wichtig?

    Die wichtigsten Größen einer Kugel sind der Radius und der Durchmesser. Der Radius wird mit dem Formelzeichen \(r\) beschrieben. Du benötigst ihn, um Volumen, Oberfläche und Durchmesser einer Kugel zu berechnen. Alle Größen der Kugel sind vom Radius abhängig. Der Radius beschreibt den Abstand vom Mittelpunkt \(M\) bis zu einem Punkt an der Oberfläche der Kugel.

    Häufig findest du in Aufgabenstellungen nur den Durchmesser \(d\) gegeben, dieser verläuft von einem Punkt an der Oberfläche der Kugel durch den Mittelpunkt bis zu dem exakt gegenüberliegenden Punkt an der Oberfläche der Kugel. Der Durchmesser ist also der doppelte Radius und wird daher mit der folgenden Formel berechnet:

    \(d=2r\)

    Das Formelzeichen für das Volumen der Kugel ist \(V\). Beim Volumen wird berechnet, wie viel Rauminhalt in die Kugel passt. Die Formel zur Berechnung des Volumens lautet:

    \(V_\text{Kugel}=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3\)

    Der Oberflächeninhalt der Kugel beschreibt die Größe der Oberfläche einer Kugel. Das Formelzeichen für den Oberflächeninhalt ist \(A\). Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes lautet:

    \(A_\text{Kugel}=4\pi\cdot r^2\)

  • Wie löst man Aufgaben zu Kugeln erfolgreich?

    1. Um eine Aufgabe erfolgreich zu lösen, solltest du zu Beginn aufschreiben, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind und welche Größe gesucht ist. Wichtig ist es, auch die Einheiten zu notieren. Wenn du dir nicht sicher bist, kann auch eine Skizze weiterhelfen, um den gegebenen Sachverhalt besser zu verstehen.

    2. Als Nächstes musst du die passende Formel aufschreiben. Wähle immer die Formel, die für deine Aufgabenstellung zielführend ist. 

    3. Um die Aufgabe erfolgreich zu lösen, muss die gesuchte Größe, gegebenenfalls durch Umstellen, immer allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

    4. Hast du die Formel fertig umgestellt, kannst du die gegebenen Werte einsetzen und den gesuchten Wert berechnen. Denk immer an die Einheiten, sowohl beim Einsetzen als auch beim Ergebnis.

    Achte immer darauf, ob in der Aufgabe der Durchmesser oder der Radius der Kugel angegeben wird. Um das Volumen und die Oberfläche einer Kugel zu berechnen, benötigst du den Radius.

  • Wie kann man die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel herleiten?

    Um die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel herzuleiten, musst du wissen, dass es möglich ist, eine Kugel in unendlich viele Pyramiden zu zerteilen. Die Spitzen der Pyramiden sind alle im Mittelpunkt der Kugel. Die Grundflächen der Pyramiden liegen alle auf der Oberfläche der Kugel. Also entsprechen alle Grundflächen der Pyramiden zusammen dem Oberflächeninhalt der Kugel, und das Volumen aller Pyramiden entspricht dem Volumen der Kugel.

    Das Volumen einer Pyramide wird mit folgender Formel berechnet:

    \(V_\text{Pyramide}=\frac{A_{G}\ \cdot\ h}{3}\)

     

    Ein Kugel mit einer Pyramide dessen Spitze genau im Mittelpunkt der Kugel ist.

    Da nun aber das Volumen der Kugel gesucht ist, die auf die Pyramiden aufgeteilt wurde, müssen wir die Formel noch anpassen. Die Höhe \(h\) der Pyramide entspricht in der Kugel dem Radius \(r\), daher können wir die Höhe durch den Radius ersetzen:

    \(V_\text{Pyramide}=\frac{A_{G}\ \cdot\ r}{3}\)

    Außerdem sind die Grundflächen \(A_{G}\) der Pyramiden alle zusammen das Gleiche wie der Oberflächeninhalt der Kugel \(A_{O}\). Deshalb können wir auch diese ersetzen:

    \(V_\text{Pyramide}=\frac{A_{O}\ \cdot\ r}{3}\)

    Jetzt können wir die Formel für den Oberflächeninhalt für \(A_{O}\) einsetzen. Denn \(A_{O}=4\pi r^2\):

    \(V_\text{Pyramide}=\frac{(4\pi r^2)\ \cdot\ r}{3}\)

    Den Ausdruck in der Klammer können wir ausklammern und erhalten die Formel für das Volumen einer Kugel:

    \(V_\text{Pyramide}=\frac{4\pi r^3}{3}=\frac{4}{3}\pi r^3\)

    Die Formel zur Volumenberechnung einer Kugel kann man auch mittels Integralrechnung oder mithilfe des Satzes von Cavalieri relativ einfach herleiten.

  • Wo gibt es Kugeln in der Natur?

    In der Natur treten kugelförmige Objekte sehr häufig auf. Ein bekanntes Beispiel sind Wassertropfen. Ihre Form erhalten sie dadurch, dass Flüssigkeiten danach streben, ihre Oberfläche möglichst klein zu halten. Die Kugelform ist immer die Form mit der kleinstmöglichen Oberfläche. Dieses Bestreben folgt aus der Oberflächenspannung.